數學分析中,中值定理(英語:mean value theorem)大致是講,給定平面上固定兩端點的可微曲線,則這曲線在這兩端點間至少有一點,在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。[註 1]

更仔細點講,假設函數 在閉區間 連續且在開區間 可微,則存在一點,使得

中值定理包括微分中值定理和積分中值定理。

微分中值定理

微分中值定理分為羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理,內容粗略的說是指平面上一段固定端點的可微曲線,兩端點之中必然有一點,它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同(嚴格的數學表達參見下文)。

當提到中值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日中值定理。

羅爾中值定理

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羅爾定理的幾何意義

如果函數滿足

  1. 在閉區間連續
  2. 在開區間內可導;
  3. 在區間端點處的函數值相等,即

那麼在內至少有一點,使得

這個定理稱為羅爾定理

拉格朗日中值定理(中值定理)

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拉格朗日中值定理的幾何意義

為閉區間上的一個連續函數,且在開區間可導,其中。那麼在上存在某個使得

此定理稱為拉格朗日中值定理,也簡稱中值定理,是羅爾中值定理的更一般的形式,同時也是柯西中值定理的特殊情形。

這個定理在可以稍微推廣一點。只需假設 連續,且在開區間 內對任意一點 極限

存在,為一個有限數字或者等於+∞或−∞.如果有限,則極限等於。這版本定理應用的一個例子是函數 ,實值三次方根函數,其導數在原點趨於無窮。

注意若一個可微函數的值域是複數而不是實數,則上面這定理就未必正確。例如,對實數 定義。那麼

時, 為開區間 中任意一點。

柯西中值定理

柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式,其敘述為:如果函數 都在閉區間 上連續,且在開區間 上可導,那麼存在某個,使得

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柯西定理的幾何意義

當然,如果,則可表示成:

在幾何上,這表示曲線 上存在一點其切線平行於由兩點()和()所連接的直線。但柯西定理不能表明在任何情況下這種切線都存在,因為可能存在一些值使,所以在這些點曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

在區間上,曲線由,卻並無一個水平切線,但在處有一個駐點(實際上是一個尖點)。

柯西中值定理可以用來證明洛必達法則。拉格朗日中值定理是柯西中值定理當時的特殊情況。

積分中值定理

積分中值定理分為積分第一中值定理積分第二中值定理,它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在ξ的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等(嚴格表述在下面)。

積分第一中值定理

為一連續函數,要求是可積函數且在積分區間不變號,那麼存在一點使得

證明

在不失去一般性的條件下,設對所有,有; 因為是閉區間上的連續函數,取得最大值和最小值。於是

對不等式求積分,我們有 。 若,則可取上任一點。

若不等於零那麼 因為是連續函數,根據中間值定理,則必存在一點,使得

的情況按同樣方法證明。

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積分第一中值定理推論的幾何意義

推論(拉格朗日中值定理的積分形式)

在上式中令,則可得出:

為一連續函數,則∃,使

它也可以由拉格朗日中值定理推出:

上可導,,則∃,使

積分第二中值定理

積分第二中值定理與積分第一中值定理相互獨立,卻又是更精細的積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法

內容

黎曼可積上單調,則存在上的點ξ使

退化態的幾何意義

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第二積分中值定理退化形式的幾何意義

,則原公式可化為: 進而導出:

此時易得其幾何意義為: 能找到ξ∈[a,b],使得S[紅]+S[藍]=S[陰影],即S[I]=S[II]

應用

關於積分中值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號,或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數,從而使問題簡化。

註釋

參見

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