中值定理

在數學分析中，中值定理（英語：Mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。^{[註 1]}

提示：此條目頁的主題不是中間值定理。

更仔細點講，假設函數 ${\displaystyle f}$ 在閉區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 連續且在開區間 ${\displaystyle (a,b)}$ 可微，則存在一點${\displaystyle c,\,a<c<b}$，使得

$${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$$

中值定理包括微分中值定理和積分中值定理。

微分中值定理

微分中值定理分為羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，內容粗略的說是指平面上一段固定端點的可微曲線，兩端點之中必然有一點，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。

當提到中值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日中值定理。

羅爾中值定理

羅爾定理的幾何意義

主條目：羅爾定理

如果函數${\displaystyle f(x)}$滿足

1. 在閉區間${\displaystyle [a,b]}$上連續；
2. 在開區間${\displaystyle (a,b)}$內可導；
3. 在區間端點處的函數值相等，即${\displaystyle f(a)=f(b)}$，

那麼在${\displaystyle (a,b)}$內至少有一點${\displaystyle \xi (a<\xi <b)}$，使得$${\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}$$

這個定理稱為羅爾定理。

拉格朗日中值定理（中值定理）

拉格朗日中值定理的幾何意義

主條目：拉格朗日中值定理

令${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$為閉區間${\displaystyle [a,b]}$上的一個連續函數，且在開區間${\displaystyle (a,b)}$內可導，其中${\displaystyle a<b}$。那麼在${\displaystyle (a,b)}$上存在某個${\displaystyle c}$使得

$${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$$

此定理稱為拉格朗日中值定理，也簡稱中值定理，是羅爾中值定理的更一般的形式，同時也是柯西中值定理的特殊情形。

這個定理在可以稍微推廣一點。只需假設 ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 連續，且在開區間 ${\displaystyle (a,b)}$ 內對任意一點 ${\displaystyle x}$，極限

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

存在，為一個有限數字或者等於+∞或−∞.如果有限，則極限等於${\displaystyle f'(x)}$。這版本定理應用的一個例子是函數 ${\displaystyle x\to x^{1/3}}$，實值三次方根函數，其導數在原點趨於無窮。

注意若一個可微函數的值域是複數而不是實數，則上面這定理就未必正確。例如，對實數 ${\displaystyle x}$ 定義${\displaystyle f(x)=e^{ix}}$。那麼

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)}$

因${\displaystyle |f'(x)|=1\neq 0}$ 時，${\displaystyle c}$ 為開區間 ${\displaystyle (0,2\pi )}$ 中任意一點。

柯西中值定理

主條目：柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其敘述為：如果函數 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 都在閉區間${\displaystyle [a,b]}$ 上連續，且在開區間 ${\displaystyle (a,b)}$ 上可導，那麼存在某個${\displaystyle c\in (a,b)}$，使得

柯西定理的幾何意義

$${\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,}$$

當然，如果${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ 且 ${\displaystyle g(c)\neq 0}$，則可表示成：

$${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$$

在幾何上，這表示曲線 $${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$$ 上存在一點其切線平行於由兩點（${\displaystyle f(a),g(a)}$）和（${\displaystyle f(b),g(b)}$）所連接的直線。但柯西定理不能表明在任何情況下這種切線都存在，因為可能存在一些${\displaystyle c}$值使${\displaystyle f(c)=g(c)=0}$，所以在這些點曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

$${\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}$$

在區間${\displaystyle [-1,1]}$上，曲線由${\displaystyle (-1,0)}$到${\displaystyle \left(1,0\right)}$，卻並無一個水平切線，但在${\displaystyle t=0}$處有一個駐點（實際上是一個尖點）。

柯西中值定理可以用來證明洛必達法則。拉格朗日中值定理是柯西中值定理當${\displaystyle g(t)=t}$時的特殊情況。

積分中值定理

積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在ξ的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等（嚴格表述在下面）。

積分第一中值定理

設${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$為一連續函數，${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$要求${\displaystyle g(x)}$是可積函數且在積分區間不變號，那麼存在一點${\displaystyle \xi \in (a,b)}$使得

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$。

證明

在不失去一般性的條件下，設對所有${\displaystyle x}$，有${\displaystyle g(x)\geq 0}$； 因為${\displaystyle f}$是閉區間上的連續函數，${\displaystyle f}$取得最大值${\displaystyle M}$和最小值${\displaystyle m}$。於是 ${\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$

對不等式求積分，我們有 ${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$。 若${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0}$，則${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0}$。${\displaystyle \xi }$可取${\displaystyle [a,b]}$上任一點。

若不等於零那麼${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx>0}$， $${\displaystyle m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M}$$ 因為${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$是連續函數，根據中間值定理，則必存在一點${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使得 ${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}$

${\displaystyle g(x)<0}$的情況按同樣方法證明。

積分第一中值定理推論的幾何意義

推論（拉格朗日中值定理的積分形式）

在上式中令${\displaystyle g(x)=1}$，則可得出：

設${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$為一連續函數，則∃${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使

$${\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}$$

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

設${\displaystyle F(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上可導，${\displaystyle f(x)=F^{\prime }(x)}$，則∃${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使

$${\displaystyle f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}$$

積分第二中值定理

積分第二中值定理與積分第一中值定理相互獨立，卻又是更精細的積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。

內容

若${\displaystyle f,g}$在${\displaystyle [a,b]}$上黎曼可積且${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上單調，則存在${\displaystyle [a,b]}$上的點ξ使 $${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}$$

退化態的幾何意義

第二積分中值定理退化形式的幾何意義

令${\displaystyle g(x)=1}$，則原公式可化為： ${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}$ 進而導出： $${\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}}$$

此時易得其幾何意義為： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[紅]+S[藍]=S[陰影]，即S[I]=S[II]

應用

關於積分中值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號，或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。

註釋

1. 這個定理有兩種翻譯：均值定理跟中值定理，與數學分析中另一重要定理：中間值定理（intermediate value theorem）容易混淆

參見

• 羅爾定理
• 柯西中值定理
• 中間值定理
• 極值定理