短截線

在微波與射頻工程中，短截線是指在一端連接的傳輸線或波導。短截線的自由端開路或（在波導的情形）短路。忽略傳輸線的損耗，短截線的輸入阻抗是純抗性的；是容性還是感性，取決於短截線的電長度（英語：electrical length）以及是開路還是短路。短截線在無線電頻率可能用作電容、電感和諧振電路。

1938年的真空管背包UHF收發器中的諧振短截線槽電路。大約長1/8 波長：（左面）200 MHz短截線為19 cm，（右面）300 MHz短截線為12.5 cm

1947年的10 kW的FM廣播發射機展示了四分之一波長的諧振短截線板極振盪電路

短截線通過沿其長度方向的無線電波的駐波發揮作用。它們的電抗特性是由它們的物理長度與無線電波的波長之間的關係決定的。因此短截線最常用在波長足夠短的UHF或微波電路中，於是短截線也較小。^[1] 它們經常被用來代替分立電容和電感，因為在UHF和微波頻率下，由於寄生電抗，集總元件表現不佳。^[1] 短截線常用在天線阻抗匹配電路、選頻濾波器和UHF電子振盪器與射頻放大器的諧振電路中。

任何類型的傳輸線都可以做成短截線：平行導線（英語：ladder line）（它們稱為勒謝爾線（英語：Lecher lines））、同軸電纜、帶狀線（英語：stripline）、波導管以及介質波導管（英語：dielectric waveguide）。短截線電路可以用史密斯圖（一個可以確定多長的線可以得到所需電抗的圖形工具）設計。

短路短截線

無耗短路傳輸線的輸入阻抗為，

${\displaystyle Z_{\mathrm {SC} }=jZ_{0}\tan(\beta l)\,\!}$

其中 j 是虛數單位，${\displaystyle Z_{0}}$ 是傳輸線的特性阻抗（英語：characteristic impedance），${\displaystyle \beta =2\pi /\lambda \,}$ 是傳輸線的相位常數（英語：phase constant），而 ${\displaystyle l}$ 是傳輸線的物理長度。

因此，${\displaystyle \tan(\beta l)}$ 為正還是為負會決定短截線是感性還是容性。

在角頻率為 ${\displaystyle \omega }$ 時，充當電容的 C 的短截線的長為：

${\displaystyle l={\frac {1}{\beta }}\left[(n+1)\pi -\arctan \left({\frac {1}{\omega CZ_{0}}}\right)\right]}$

相同頻率下，充當電感 L 的短截線的長為：

${\displaystyle l={\frac {1}{\beta }}\left[n\pi +\arctan \left({\frac {\omega L}{Z_{0}}}\right)\right]}$

開路短截線

無耗開路短截線的輸入阻抗為

${\displaystyle Z_{\mathrm {OC} }=-jZ_{0}\cot(\beta l)\,\!}$

由此得出 ${\displaystyle \cot(\beta l)}$ 的正負，就分別對應於短截線的容性或感性。

在角頻率為 ${\displaystyle \omega }$ 時，充當電感的開路短截線 L 的長度為：

${\displaystyle l={\frac {1}{\beta }}\left[(n+1)\pi -\operatorname {arccot} \left({\frac {\omega L}{Z_{0}}}\right)\right]}$

相同頻率下，充當電容 C 的開路短截線的長為：

${\displaystyle l={\frac {1}{\beta }}\left[n\pi +\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{\omega CZ_{0}}}\right)\right]}$

諧振短截線

短截線經常被用在振盪器和分佈參數濾波器（英語：distributed element filter）中作為振盪電路。長度為 ${\displaystyle \scriptstyle l}$ 的開路短截線，當 ${\displaystyle \scriptstyle \beta l<\pi /2}$ 時，在低頻下會有容抗。在此頻率以上阻抗就會為感性。恰好 ${\displaystyle \scriptstyle \beta l=\pi /2}$ 時，短截線表示短路。定性地來說，這與串聯諧振電路的行為相同。對於無耗線，相位變化常數與頻率成正比，

${\displaystyle \beta ={\omega \over v}}$

其中 v 是傳播速度，對無耗線來說是與頻率無關的常數。對於此情形，諧振頻率為

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {\pi v}{2l}}}$

當短截線用作諧振電路時，它們與集總元件諧振電路不同之處在於它們有多個諧振頻率；除了基波諧振頻率 ${\displaystyle \scriptstyle \omega _{0}\,}$ 以外, 還會再這個頻率的倍數 ${\displaystyle \scriptstyle n\omega _{0}\,}$ 發生諧振。如在集總調諧電路中一樣，諧振後阻抗不會隨着頻率持續單調上升。阻抗會上升到 ${\displaystyle \scriptstyle \beta l=\pi }$ 這一點變為開路。在這一點後（其實是一個反諧振（英語：anti-resonance）點），阻抗會再次變為容性並開始減小。它會持續下降到 ${\displaystyle \scriptstyle \beta l=3\pi /2\,}$，然後再次表現為短路。在這一點短截線的濾波作用徹底消失。短截線的響應隨着頻率增加持續重複，在諧振和反諧振之間交替。某頻率之上濾波器不起作用，並產生多個不需要的通帶（英語：passband）這一點，不僅是短截線的特點，還是所有分佈元件濾波器的特點。^[2]

同樣，短路短截線在 ${\displaystyle \scriptstyle \pi /2}$ 是一個反諧振器，也就是說它的行為同並聯諧振電路，但當接近 ${\displaystyle \scriptstyle 3\pi /2}$ 時失效。^[2]

短截線匹配

在帶狀線電路中，短截線可能置於輸出接頭前用於補償由於該設備的輸出負載或接頭本身造成的微小失配。

短截線可以用來將負載阻抗與傳輸線特性阻抗相匹配。短截線的位置與負載有一段距離。該距離選擇在負載阻抗的阻性部分與主線長度的阻抗變換器作用（英語：quarter wave impedance transformer）的特性阻抗的阻性部分相等的點。短截線的長度要恰好能抵銷表現出的負載的抗性部分。也就是說，短截線是根據主線表現出感性還是容性負載而做成容性還是感性的。這與負載實際的阻抗不同，因為負載阻抗的抗性部分以及阻性部分會受到阻抗變換器作用。匹配短截線可以做成可調的，使得可以在測試中修正。^[3]

單獨的短截線只能在某一特定頻率達到完美匹配。對寬帶匹配來說，會將若干短截線以一定間隔沿主傳輸線分佈。得到的結構類似於濾波器，也會用到濾波器設計方法。例如，匹配網絡會設計成切比雪夫濾波器，但會針對阻抗匹配而非通帶傳輸進行優化。得到的網絡的傳輸函數會與切比雪夫濾波器一樣有通帶漣波，但在通帶中漣波絕不會像標準濾波器那樣，達到 0dB 的插入損耗。^[4]

參考文獻

1. Shuart, George W. New high impedance lines replace coils (PDF). Short Wave Craft (New York: Popular Book Corp.). October 1934, 5 (6): 332–333 [March 24, 2015].
2. Ganesh Prasad Srivastava, Vijay Laxmi Gupta, Microwave Devices and Circuit Design, pp.29-31, PHI Learning, 2006 ISBN 81-203-2195-2.
3. F.R. Connor, Wave Transmission, pp.32-34, Edward Arnold Ltd., 1972 ISBN 0-7131-3278-7.
4. Matthaei, G.; Young, L.; Jones, E. M. T., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, pp.681-713, McGraw-Hill 1964.

參見

• 四分之一波長阻抗變換器（英語：Quarter wave impedance transformer）