皮爾士定律

邏輯中的皮爾士定律（Peirce's law）得名於哲學家和邏輯學家查爾斯·桑德斯·皮爾士。它被接受為他的第一個公理化命題邏輯中一個公理。這個公理是排中律的推論。

在命題演算中，皮爾士定律說的是 ((P→Q)→P)→P。也就是說，如果你能證明 P 蘊含 Q 強制 P 是真的，則 P 必定是真的。

皮爾士定律在直覺邏輯或中間邏輯中是不成立的。在柯里-霍華德同構中，皮爾士定律是一種續體運算。

皮爾士定律的證明

在只使用否定和蘊涵運算符的命題演算中，A ∨ B 表示為 (A → B) → B。皮爾士定律等價於 (P → Q) ∨ P 也就是 ¬P ∨ Q ∨ P ，所以它是排中律的推論。

與演繹定理一起使用皮爾士定律

皮爾士定律允許你通過使用演繹定理來增強證明定理的技術。假設給你一組前提 Γ 而你希望從它們演繹出命題 Z。通過皮爾士定律，你可以向 Γ 增加(沒有代價)額外的形如 Z→P 的前提。例如，假設我們給出了 P→Z 和 (P→Q)→Z 並且希望演繹出 Z，那麼我們可以使用演繹定理來結論出 (P→Z)→(((P→Q)→Z)→Z) 是定理。接着我們可以增加另一個前提 Z→Q。從它和 P→Z，我們可以得到 P→Q。接着我們應用肯定前件於 (P→Q)→Z 作為它的大前提來得到 Z。運用演繹定理，我們得到 (Z→Q)→Z 從最初的前提得出。接着我們以 ((Z→Q)→Z)→Z 的形式使用皮爾士定律和肯定前件來從最初的前提推導 Z。我們就完成了最初預期的定理證明。

- P→Z 1. 假設
  - (P→Q)→Z 2. 假設
    - Z→Q 3. 假設
      - P 4. 假設
      - Z 5. 肯定前件使用步驟 4 和 1
      - Q 6. 肯定前件使用步驟 5 和 3
    - P→Q 7. 演繹自 4 到 6
    - Z 8. 肯定前件使用步驟 7 和 2
  - (Z→Q)→Z 9. 演繹自 3 到 8
  - ((Z→Q)→Z)→Z 10. 皮爾士定律
  - Z 11. 肯定前件使用步驟 9 到 10
- ((P→Q)→Z)→Z 12. 演繹自 2 到 11
(P→Z)→((P→Q)→Z)→Z) 13. 演繹自 1 到 12 QED

蘊涵命題演算的完備性

皮爾士定律的重要體現在它可以在只使用蘊涵的邏輯中替代排中律(參見蘊涵命題演算)。可以從公理模式:

P→(H→P)
(H→(P→Q))→((H→P)→(H→Q))
((P→Q)→P)→P
從 P 和 P→Q 推出 Q

(這裏的 P,Q,R 只包含「→」作為連結詞)演繹出的句子是只使用「→」作為連結詞的所有重言式。

歷史

下面是皮爾士自己的定律陳述:

第五圖像(icon)需要排中原理和與它連接的其他命題。最簡單的這種公式是:

{(x —< y) —< x} —< x。

這是難於自明的。如下看起來它是真的。它只能在最終結論 x 是假、而它的前提 (x —< y) —< x 是真的時候是假的。如果它是真的，要麼它的結論 x 是真，這時整個公式將是真的，要麼它的前提 x —< y 是假的。但是在最後一種情況下 x —< y 的前提也就是 x 必須是真的。(Peirce, CP 3.384)。

皮爾士接着指出了這個定律的一個直接應用:

從剛才給出的這個公式，我們立即就得到:

{(x —< y) —< a} —< x，

這裏的 a 在 (x —< y) —< a 意味着從 (x —< y) 能得出所有命題的意義上使用的。通過這種理解，這個公式陳述了排中原理，從否認 x 為假得出 x 為真。(Peirce, CP 3.384)。

引用

Peirce, C.S., "On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation", American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Reprinted, the Collected Papers of Charles Sanders Peirce 3.359–403 and the Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition 5, 162–190.

Peirce, C.S., Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vols. 1–6, Charles Hartshorne and Paul Weiss (eds.), Vols. 7–8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931–1935, 1958.

參見

弗雷格命題演算
排中律
邏輯圖 — 包含了皮爾士定律的一個證明。
海廷代數
直覺邏輯