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皮卡小定理說明,如果複變函數是整函數且不是常數,則的值域或者是整個複平面,或者只去掉一個點。 這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理:任何不是常數的整函數都一定是無界的。
皮卡的原始證明利用了模λ函數(Modular lambda function)。[1]證明概要如下:若的值域不包含複平面上的兩個點,不失一般性地,可以假設的值域不包含0和1,設是其值域中的點,在這個點附近,可以選取模函數的逆的某個單值解析分支,記作。利用模函數的通用覆蓋性和單值性定理,可以將點()附近定義的複合映射解析延拓到整個複平面上,從而得到一個在複平面上單值解析但有界的函數。根據劉維爾定理,該函數為常函數。因此也是常函數。[2]
皮卡大定理說明,如果在點具有本性奇點,那麼在任何含有的開集中,都將取得所有可能的複數值,最多只有一個例外。
這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理,後者只保證了f的值域在複平面內是稠密的。
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