波爾文積分

波爾文積分（英語：Borwein integral）是一種由波爾文父子發現的性質特殊的積分，常用於作為看似存在的數學規律最終失效的例子。2001年，大衛·波爾文和喬納森·波爾文（英語：Jonathan Borwein）共同發表了這個涉及sinc函數的積分^[1]。

常見的例子為：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

這種規律一直到

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

都是成立的。

但是到了下一個數，這個規律就突然失效了：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

公式

對於給定的一系列非零實數，即${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots }$，可以給出${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x}$的封閉公式形式。為了計算這個公式，其中需要做的就是計算含有${\displaystyle a_{k}}$相關的量之和。特別的，設${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$即由${\displaystyle \pm 1}$構成的${\displaystyle n}$元組，於是可以寫成${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$即有關${\displaystyle a_{k}}$的各種加減形式的總和，並且令${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$（其結果為${\displaystyle \pm 1}$）。基於上述定義，可以得到該積分的值為：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}\cdot C_{n}}$

其中：

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\cdot \sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{n})}$

在這裏如果${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$，那麼有${\displaystyle C_{n}=1}$。

進一步地，如果存在一個${\displaystyle n}$對於每個${\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}$總有${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$成立，並且有${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$，即${\displaystyle n}$為首次超過${\displaystyle a_{0}}$的前幾項之和時的元素數量，即當${\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}$時有${\displaystyle C_{k}=1}$，但在其他情況時：

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$

在這裏令${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$，即當${\displaystyle n=7}$時${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$，此時${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$但是${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$，又由於${\displaystyle a_{0}=1}$，於是該公式成立（並且移去其中任何因子也成立）：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{13}}}{\frac {x}{13}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$

但在另一方面，則有：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{15}}}{\frac {x}{15}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left[1-{\frac {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-1\right)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)^{-1}}}\right]}$

即與前面給出的公式的結果相同。

參考資料

1. Borwein, David; Borwein, Jonathan M., Some remarkable properties of sinc and related integrals [sinc函數及其相關積分的一些引人注意的性質], The Ramanujan Journal, 2001, 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 （英語）