在數學分析中,特別是微局部分析中,一個分佈 的波前集 在奇異支集 的基礎上進一步刻畫了 的奇異性。作為底空間餘切叢的一個錐子集,一個分佈的波前集不僅描述了這個分佈的奇異點,並且同時描述了在每一點這個分佈奇異的方向。「波前集」這個術語是由 拉爾斯·霍爾曼德爾在1970年左右引入的。實解析版本的波前集,定義在超函數上,稱為「奇異支集」或「奇異譜」,稍早由佐藤干夫引入。
此條目包含過多行話或專業術語,可能需要簡化或提出進一步解釋。 (2015年11月11日) |
定義
在歐式空間的一個區域 中,一個分佈 在一個點 處的奇異纖維 ,作為 的一個子集, 是在這一點所有奇異方向的余集。嚴格的定義用到傅里葉變換, 不屬於 若且唯若存在緊支集光滑函數 以及 的一個錐鄰域(在正實數乘法下不變) 使得 ,並且在 中有如下估計:對於任意正整數 ,存在正常數 使得
(我們經常將這個估計寫為。)
的波前集 定義為
由下面波前集在坐標變化下的性質,可以定義光滑流形 上的分佈 的波前集 為餘切叢去掉零截面 的一個錐子集。
如果 有Schwarz核 ,定義
對於擬微分算子 , 可以驗證 包含於 的對角線 中。並且如果我們定義 如下: 若且唯若在的一個錐鄰域中, 的象徵滿足估計
那麼我們有 若且唯若 。
Hormander最早的定義用到了擬微分算子在分佈上的作用: 是所有滿足如下性質的點 在 中的補集: 存在 的錐鄰域 使得對於任意的滿足 的擬微分算子 , 有 。
另一個有用的等價定義用到FBI變換。
性質
(1) 如果記 為餘切叢上自然投影,則 。
(2) 對於擬微分算子 , 。特別的,我們有對於任意的光滑係數微分算子,。
(3) 如果 是一個光滑映射,記 為 的法叢。如果 滿足 ,那麼我們可以「唯一的」定義 在 下的拉回 。並且我們有 。 特別的,如果 是一個微分同胚,。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於坐標的。
(4)令 如果將 視作從 到 的一個關係,並且記 。這裏和分別是和上餘切叢的零截面。則如果 滿足 ,那麼我們可以「唯一的」定義。並且我們有 。
(5)如果 和 滿足 ,那麼我們可以「唯一的」定義複合算子 。並且我們有
這裏最後一項是將波前集視為關係下的複合。
例子
應用
推廣
以上所定義的波前集描述的是分佈的關於 正則性的奇異性,類似的可以定義關於實解析性的波前集 ,關於Gevery類 的波前集,關於Sobolev空間 的波前集等等。在使用FBI變換的定義中,這些波前集有一個很好的統一的描述。
參考來源
- Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
- Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6 Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities
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