比例論

在數學中，一個等比關係（proportion）或比例式，指的是兩個比例（proportionality 或 ratio）的相等關係，記為 ${\displaystyle a:b=c:d}$ ；亦即，${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$。比例論（theory of proportion）是研究比例與等比關係的理論。

歷史

畢達哥拉斯學派的比例論

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數）${\displaystyle {\sqrt[{}]{2}}}$，這破壞了他們的比例論^[1]：

如果兩個物體的比例是相同的，以數學式來表示，是一個等比關係 ${\displaystyle a:b=c:d}$。其中，${\displaystyle a,b,c,d}$ 是正整數。而且，存在一個正整數 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle a=nc}$ 與 ${\displaystyle b=nd}$。

無理數的存在，表示物體的比例可能無法以正整數來表示，這破壞了他們以正整數來描述自然規律的哲學。

尤得塞斯的比例論

為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。其中的第五條定義是其比例論的核心：

${\displaystyle a:b=c:d}$ 若且唯若底下三個等式關係成立：

${\displaystyle ma<nb\implies mc<nd}$

${\displaystyle ma=nb\implies mc=nd}$

${\displaystyle ma>nb\implies mc>nd}$

其中 ${\displaystyle m,n}$ 為正整數（幾何量的整倍數）。

這個定義迴避了數系的規範，因此，即使 ${\displaystyle a,b,c,d}$ 是無理數，等比關係也可以成立。

參考來源

1. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Vol 1, page 68

參考

• Thomas Bradwardine: A View of Time and a Vision of Eternity in Fourteenth Century Thought, Edith Wilks Dolnikowski
• A History of Mathematics, Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach

參見

• 比例
• 比