歐拉乘積

數論中，歐拉乘積（英語：Euler product）是指狄利克雷級數可表示為一指標為素數的無窮乘積。這一乘積以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的名字命名，他證明了黎曼ζ函數可表示為此無窮乘積的形式。

定義

假設${\displaystyle a}$為一積性函數，則狄利克雷級數

${\displaystyle \sum _{n}a(n)n^{-s}\,}$

等於歐拉乘積

${\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\,}$

其中，乘積對所有素數${\displaystyle p}$進行，${\displaystyle P(p,s)}$則可表示為

${\displaystyle 1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .}$

這可以看作形式母函數，形式歐拉乘積展開的存在性與${\displaystyle a(n)}$為積性函數兩者互為充要條件。

${\displaystyle a(n)}$為完全積性函數時可得到一重要的特例。此時${\displaystyle P(p,s)}$為等比級數，有

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-a(p)p^{-s}}},}$

當${\displaystyle a(n)=1}$時即為黎曼ζ函數，更一般的情形則是狄利克雷特徵。

參考文獻

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"