格林公式

提示：此條目頁的主題不是格林定律。

在物理學與數學中，格林定理給出了沿封閉曲線 C 的線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的聯繫。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。^[1]

定理

設閉區域${\displaystyle D}$由分段光滑的簡單曲線 ${\displaystyle L}$圍成，函數 ${\displaystyle P(x,y)}$及${\displaystyle Q(x,y)}$在${\displaystyle D}$上有一階連續偏導數，則有^[2][3]

${\displaystyle \iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\oint _{L^{+}}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)}$

其中${\displaystyle L^{+}}$是${\displaystyle D}$的取正向的邊界曲線。

此公式叫做格林公式，它給出了沿着閉曲線${\displaystyle L}$的曲線積分與${\displaystyle L}$所包圍的區域${\displaystyle D}$上的二重積分之間的關係。另見格林恆等式。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。

D 為一個簡單區域時的證明

以下是特殊情況下定理的一個證明，其中D是一種I型的區域，C₂和C₄是豎直的直線。對於II型的區域D，其中C₁和C₃是水平的直線。

如果我們可以證明

${\displaystyle \int _{C}L\,\mathrm {d} x=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(1)} }$

以及

${\displaystyle \int _{C}M\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(2)} }$

那麼就證明了格林公式是正確的。

把右圖中I型的區域D定義為：

${\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$

其中g₁和g₂是區間[a, b]內的連續函數。計算(1)式中的二重積分：

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A}$	${\displaystyle =\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L(x,y)}{\partial y}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\right]}$
	${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(3)} }$

現在計算(1)式中的曲線積分。C可以寫成四條曲線C₁、C₂、C₃和C₄的併集。

對於C₁，使用參數方程：。那麼：

${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x}$

對於C₃，使用參數方程：${\displaystyle x=x,\,y=g_{1}(x),\,a\leq x\leq b}$。那麼：

${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x}$

沿着C₃的積分是負數，因為它是沿着反方向從b到a。在C₂和C₄上，x是常數，因此：

${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=0}$

所以：

${\displaystyle \int _{C}L\,\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =\int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x+\int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x}$
	${\displaystyle =-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,\mathrm {d} x\qquad \mathrm {(4)} }$

(3)和(4)相加，便得到(1)。類似地，也可以得到(2)。

應用

計算區域面積

使用格林公式，可以用線積分計算區域的面積^[4]。因為區域D的面積等於${\displaystyle A=\iint _{D}dA}$，所以只要我們選取適當的L與M使得${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$，就可以通過${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)}$來計算面積。

一種可能的取值是${\displaystyle A=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\oint _{C}x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}$^[4]。

參見

• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 格林函數

參考文獻

1. George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green did not actually derive the form of "Green's theorem" which appears in this article; rather, he derived a form of the "divergence theorem", which appears on pages 10-12 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） of his Essay.
   In 1846, the form of "Green's theorem" which appears in this article was first published, without proof, in an article by Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (On integrals that extend over all of the points of a closed curve), Comptes rendus, 23: 251-255. (The equation appears at the bottom of page 254, where (S) denotes the line integral of a function k along the curve s that encloses the area S.)
   A proof of the theorem was finally provided in 1851 by Bernhard Riemann in his inaugural dissertation: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (Basis for a general theory of functions of a variable complex quantity), (Göttingen, (Germany): Adalbert Rente, 1867); see pages 8 - 9.
2. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
3. Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
4. Stewart, James. Calculus 6th. Thomson, Brooks/Cole. 2007.