根系 (數學)

在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇異性理論等與李群並無顯著關係的學科。

定義

設 ${\displaystyle V}$ 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 ${\displaystyle (,)}$。${\displaystyle V}$ 中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 ${\displaystyle \Phi }$，滿足下述條件：

<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件，在每條線上，其間交角只有兩種可能。

1. ${\displaystyle \Phi }$ 的元素張出 ${\displaystyle V}$。
2. 對任一 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，其屬於 ${\displaystyle \Phi }$ 的純量倍數只有 ${\displaystyle \pm \alpha }$。
3. 對任意 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，集合 ${\displaystyle \Phi }$ 在對 ${\displaystyle \alpha }$ 的反射之下不變。在此的反射是指

   ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha \in \Phi .}$

4. （整性）若 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$，則 ${\displaystyle \beta }$ 在 ${\displaystyle \alpha }$ 方向的投影乘以2是 ${\displaystyle \alpha }$ 的整數倍，即：

   ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,}$

根據性質三，整性等價於：對任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$，${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )}$ 與 ${\displaystyle \beta }$ 僅差 ${\displaystyle \alpha }$ 的整數倍。此外，注意到性質四定義的尖積

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$

並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。

根系 ${\displaystyle \Phi }$ 的秩定義為 ${\displaystyle V}$ 的維度。

給定兩個根系 ${\displaystyle (V,\Phi ),(W,\Psi )}$，可考慮其正交直和 ${\displaystyle V\oplus W}$，則 ${\displaystyle \Phi \sqcup \Psi }$ 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 ${\displaystyle V,W\neq \{0\}}$），則稱之為不可約的。

對兩個根系 ${\displaystyle (E_{1},\Phi _{1}),(E_{2},\Phi _{2})}$，若存在其間的線性同構，使得 ${\displaystyle \Phi _{1}}$ 映至 ${\displaystyle \Phi _{2}}$，則稱它們為同構的根系。

對於根系 ${\displaystyle (V,\Phi )}$，對根的反射生成一個群，稱為該根系的外爾群。可證明此群在 ${\displaystyle \Phi }$ 上忠實地作用，因此必為有限群。

秩一與秩二的例子

秩為1的例子

在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量 ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$ 組成。此根系記作 ${\displaystyle A_{1}}$。

秩為2的例子

秩二的根系有四種可能，對應於${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$，其中${\displaystyle n=0,1,2,3}$的情況^[1]。注意根系並不由它生成的格所決定：${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ 和${\displaystyle B_{2}}$均生成正方形格，而 ${\displaystyle A_{2}}$和${\displaystyle G_{2}}$ 生成六邊形格。這僅僅是五種可能的二維格中的兩種。 圖解如下：

秩二之根系

根系 A1×A1	根系 A2
根系 B2	根系 G2

當 ${\displaystyle \Phi }$ 是 ${\displaystyle V}$ 中的根系，而 ${\displaystyle W}$ 是 ${\displaystyle \Psi =\Phi \cap W}$ 在 ${\displaystyle W}$ 中生成的子空間，則 ${\displaystyle \Psi }$ 是 ${\displaystyle W}$ 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 ${\displaystyle 0,30,45,60,90,120,135,150}$ 或 ${\displaystyle 180}$ 度。

正根與單根

對於根系 ${\displaystyle \Phi }$，可以取定滿足下述條件的正根子集 ${\displaystyle \Phi ^{+}}$：

• 對每個根 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，${\displaystyle \alpha ,-\alpha }$ 中恰有一者屬於 ${\displaystyle \Phi ^{+}}$。
• 對任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$，若 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi }$，則 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$。

正根的取法並不唯一。取定一組正根後，${\displaystyle -\Phi ^{+}}$ 的元素被稱為負根。

正根的選取等價於單根的選取。單根集是 ${\displaystyle \Phi }$ 中滿足下述條件的子集 ${\displaystyle \Delta }$：

任意 ${\displaystyle \Phi }$ 中的元素皆可唯一地表成 ${\displaystyle \Delta }$ 中元素的整系數線性組合，而且其系數或者全大於等於零，或者全小於等於零。

選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中系數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

以鄧肯圖分類根系

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的圖間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下：

給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ 若不垂直，則有 ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \cdot \langle \beta ,\alpha \rangle }$ 個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度 ${\displaystyle (\alpha ,\alpha )}$ 長者（稱為長根）指向短者（稱為短根）的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的 。

藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。

連通鄧肯圖一覽

不可約根系的性質

${\displaystyle \Phi }$	${\displaystyle |\Phi |}$	${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$	I	${\displaystyle |W|}$
An (n≥1)	n(n+1)		n+1	(n+1)!
Bn (n≥2)	2n2	2n	2	2n n!
Cn (n≥3)	2n2	2n(n−1)	2	2n n!
Dn (n≥4)	2n(n−1)		4	2n−1 n!
E6	72		3	51840
E7	126		2	2903040
E8	240		1	696729600
F4	48	24	1	1152
G2	12	6	1	12

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系：${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$，其下標分別取遍 ${\displaystyle n\geq 1,2,3,4}$ 的正整數，稱為典型根系；剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中， ${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$ 表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根），${\displaystyle I}$ 表示其嘉當矩陣的行列式，而 ${\displaystyle |W|}$ 表示外爾群之階。

不可約根系的構造方法及描述

An

取 ${\displaystyle V}$ 為 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ 中滿足 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=0}$ 的點 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n+1})}$ 所成之子空間。令 ${\displaystyle \Phi }$ 為 ${\displaystyle V}$ 中長度為 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的格子點。取 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ 的標準基 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n+1}}$，則根具有 ${\displaystyle e_{i}-e_{j}\;(i\neq j)}$ 的形式，共有 ${\displaystyle n(n+1)}$ 個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}}$。

對垂直於 ${\displaystyle \alpha _{i}}$ 的超平面的鏡射在 ${\displaystyle \Phi }$ 上的作用是交換第 ${\displaystyle i,i+1}$ 個座標。因此 ${\displaystyle A_{n}}$ 的外爾群不外就是對稱群 ${\displaystyle S_{n+1}}$。

${\displaystyle A_{n}}$ 是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )}$ 的根系。

Bn

B₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	0	1

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$，並令 ${\displaystyle \Phi }$ 為 ${\displaystyle V}$ 中長度為 ${\displaystyle 1,{\sqrt {2}}}$ 的格子點。共有 ${\displaystyle 2n^{2}}$ 個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$ 及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=e_{n}}$（短根）。

對短根 ${\displaystyle \alpha _{n}}$ 的反射即 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,-x_{n})}$。

${\displaystyle B_{1}}$ 跟 ${\displaystyle A_{1}}$ 僅差一個縮放，因此通常僅考慮 ${\displaystyle n\geq 2}$ 的情形。${\displaystyle B_{n}}$ 是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )}$ 的根系。

Cn

C₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	0	2

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$，${\displaystyle \Phi }$ 為 ${\displaystyle V}$ 中所有長度 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的格子點與形如 ${\displaystyle 2\lambda }$的點，其中 ${\displaystyle \lambda }$ 是長度為一的格子點。共有 ${\displaystyle 2n^{2}}$ 個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=2e_{n}}$（長根）。

${\displaystyle C_{2}}$ 與 ${\displaystyle B_{2}}$ 僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮 ${\displaystyle n\geq 3}$ 的情形。${\displaystyle C_{n}}$ 是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$ 的根系。

Dn

D₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	1	1

取 ${\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{n}}$，${\displaystyle \Phi }$ 為 ${\displaystyle V}$ 中長度 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的格子點。共有 ${\displaystyle 2n(n-1)}$ 個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1},\;(1\leq i<n)}$ 及 ${\displaystyle \alpha _{n}=e_{n}+e_{n-1}}$。

${\displaystyle D_{3}}$ 同構於 ${\displaystyle A_{3}}$，故通常僅考慮 ${\displaystyle n\geq 4}$ 的情形。${\displaystyle D_{n}}$ 是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )}$ 的根系。

E8, E7, E6

${\displaystyle E_{8}}$ 是較為特殊的根系。首先定義 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ 中滿足下述條件的點集 ${\displaystyle \Gamma _{8}}$：

• 各座標均為整數，或均為半整數（不容相混）。
• 八個座標的和為偶數。

定義 ${\displaystyle E_{8}}$ 為 ${\displaystyle \Gamma _{8}}$ 中長度為 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的向量，即：

${\displaystyle \left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\sqcup \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=2,\;\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} \right\}}$

定義 ${\displaystyle E_{7}}$ 為 ${\displaystyle E_{8}}$ 與超平面 ${\displaystyle \{x:(x,\alpha )=0\}}$ 之交， 其中 ${\displaystyle \alpha \in E_{8}}$ 是任取的根。同樣步驟施於 ${\displaystyle E_{7}}$，得到更小的根系 ${\displaystyle E_{6}}$。根系 ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 ${\displaystyle D_{5},A_{4}}$。

E₈：偶坐標

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
½	½	½	½	½	½	½	½

另一種等價的描述是取 ${\displaystyle \Gamma '_{8}}$ 為：

• 各坐標均為整數，而且其和為偶數；或
• 各坐標均為半整數，而且其和為奇數。

${\displaystyle \Gamma _{8}}$ 與 ${\displaystyle \Gamma '_{8}}$ 同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。${\displaystyle \Gamma _{8}}$ 稱為 ${\displaystyle E_{8}}$ 的偶坐標系，${\displaystyle \Gamma '_{8}}$ 稱為奇坐標系。

在偶坐標下，通常取單根為

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 6)}$

${\displaystyle \alpha _{7}:=e_{7}+e_{6}}$

${\displaystyle \alpha _{8}=\beta _{0}={\frac {\sum _{i=1}^{8}e_{i}}{2}}}$

E₈：奇坐標

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	0	1	-1
-½	-½	-½	-½	-½	½	½	½

在奇坐標下，通常取單根為

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 7)}$

${\displaystyle \alpha _{8}:=\beta _{5}}$，其中

${\displaystyle \beta _{j}:={\frac {-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}}{2}}}$

（在上述定義中，若改取 ${\displaystyle \beta _{3}}$，將得到同構的結果。若改取 ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{7},\beta _{2},\beta _{6}}$，將得到 ${\displaystyle A_{8}}$ 或 ${\displaystyle D_{8}}$。至於 ${\displaystyle \beta _{4}}$，其坐標和為零，而 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{7}}$ 亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去 ${\displaystyle \alpha _{1}}$ 可得到 ${\displaystyle E_{7}}$ 的一組單根；再刪去 ${\displaystyle \alpha _{2}}$，可得 ${\displaystyle E_{6}}$ 的單根。

由於對 ${\displaystyle \alpha _{1}}$ 垂直等價於前兩個坐標相等，而對 ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ 垂直等價於前三個座標相等，不難導出 ${\displaystyle E_{7},E_{6}}$ 的明確定義：

E₇ = (α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷: ∑α_i² + α₁² = 2，∑α_i + α₁ ∈ 2Z),

E₆ = (α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶: ∑α_i² + 2α₁² = 2，∑α_i + 2α₁ ∈ 2Z)

F4

F₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	0
-½	-½	-½	-½

對於 ${\displaystyle F_{4}}$，取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{4}}$，並令 ${\displaystyle \Phi }$ 為滿足下述條件的向量：

• ${\displaystyle |\alpha |=1,{\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle 2\alpha }$ 各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有 ${\displaystyle 48}$ 個根。通常取單根為 ${\displaystyle B_{3}}$ 的單根再加上 ${\displaystyle \alpha _{4}=-\left(\sum _{i=1}^{4}e_{i}\right)/2}$。

G2

G₂

1	-1	0
-1	2	-1

${\displaystyle G_{2}}$ 有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為

• ${\displaystyle \alpha _{1}}$
• ${\displaystyle \beta :=\alpha _{2}-\alpha _{1}}$

在此沿用了之前的符號： ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1},\;(i=1,2)}$。

根系與李群、李代數

不可約根系的分類可用於研究下述對象：

• 單複李代數
• 單複李群
• 模掉中心後為單李群的單連通複李群
• 緊單李群

參考文獻

引用

1. Hall 2015 Proposition 8.8

來源

• Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
• Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
• Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
• Hall, Brian C., Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666

參見

• ADE分類
• 外爾群
• 考克斯特群
• 考克斯特矩陣
• 根資料
• 考克斯特-鄧肯圖