極化恆等式

極化恆等式（英語：Polarization identity）是一個用範數來計算兩個向量的內積的公式。

公式

設${\displaystyle x,y}$是復Hilbert空間中的向量，則內積可表示為：

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}+i{{\left\|x+iy\right\|}^{2}}-i{{\left\|x-iy\right\|}^{2}}\right)}$。

若${\displaystyle x,y}$是實Hilbert空間中的向量，則內積可表示為：

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)}$。

推導

設有兩個實Hilbert空間中的向量${\displaystyle x,y}$，有

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2x\cdot y}$

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2x\cdot y}$

兩式相減，得

${\displaystyle 4x\cdot y=(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}$

所以

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{4}}[(x+y)^{2}-(x-y)^{2}]}$

即
${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)}$

參見

• 平行四邊形恆等式

參考文獻

程其襄，張奠宙等.實變函數與泛函分析基礎（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.7，241