捨入誤差

捨入誤差（英語：round-off error)，是指運算得到的近似值和精確值之間的差異。比如當用有限位數的浮點數來表示實數的時候(理論上存在無限位數的浮點數)就會產生捨入誤差。捨入誤差是量化誤差的一種形式。 如果在一系列運算中的一步或者幾步產生了捨入誤差，在某些情況下，誤差會隨着運算次數增加而積累得很大，最終得出沒有意義的運算結果。

表示誤差

把一個浮點數在計算機中表示，可能會引起誤差，這樣的誤差叫做表示誤差。例如：

數學表達式	精確值	近似值	誤差
1/7	0.142 857（OEIS數列A020806）	0.142 857	0.000 000 142 857
ln 2	0.693 147 180 559 945 309 41...  （OEIS數列A002162）	0.693 147	0.000 000 180 559 945 309 41...
log10 2	0.301 029 995 663 981 195 21...  （OEIS數列A007524）	0.3010	0.000 029 995 663 981 195 21...
∛ 2	1.259 921 049 894 873 164 76...  （OEIS數列A002580）	1.25992	0.000 001 049 894 873 164 76...
√ 2	1.414 213 562 373 095 048 80...  （OEIS數列A002193）	1.41421	0.000 003 562 373 095 048 80...
e	2.718 281 828 459 045 235 36...  （OEIS數列A001113）	2.718 281 828 459 045	0.000 000 000 000 000 235 36...
π	3.141 592 653 589 793 238 46...  （OEIS數列A000796）	3.141 592 653 589 793	0.000 000 000 000 000 238 46...

增加數字位數可以減少可能會產生的捨入誤差，但是位數是有限的，在表示無限浮點數時仍然會產生誤差。在用常規方法表示浮點數的情況下，這種誤差是不可避免的，但是可以通過設置警戒位來減小。

多步捨入會增加捨入誤差，例如數字9.945309在輸入時被捨入到小數點後兩位 (9.95)，顯示時再捨入到小數點後一位 (10.0)，捨入誤差是0.054691。如果原來的數隻經過一步捨入到小數點後一位 (9.9)，捨入誤差僅為0.045309。

IEEE二進制浮點數算術標準中定義了以下幾種捨入規則:

• 朝0方向捨入: 即截尾，直接將需要精確的位數以後的數位捨去。

0.142857 ≈ 0.142 (將小數點後第3位以後的數位全部捨去)

• 捨入到最接近: 即四捨五入，結果可能會變大或變小。

0.142857 ≈ 0.143 (因小數點後第4位${\displaystyle 8\geq 5}$，所以小數點後第3位加1)

0.142857 ≈ 0.14 (因小數點後第3位${\displaystyle 2<5\!\ }$，所以直接捨去)

• 朝-∞方向捨入: 總是向數軸的左方向捨入。
• 朝+∞方向捨入: 總是向數軸的右方向捨入。

舉例

• 1990年2月25日，海灣戰爭期間，在沙特阿拉伯宰赫蘭的愛國者導彈防禦系統因浮點數捨入錯誤而失效，該系統的計算機精度僅有24位，存在0.0001%的計時誤差，所以有效時間闕值是20個小時。當系統運行100個小時以後，已經積累了0.3422秒的誤差。這個錯誤導致導彈系統不斷地自我循環，而不能正確地瞄準目標。結果未能攔截一枚伊拉克飛毛腿導彈，飛毛腿導彈在軍營中爆炸，造成28名美國陸軍死亡。^{[1] [2]}

• 1996年6月4日，在亞利安五號運載火箭發射後37秒，偏離預定軌道而炸毀。原因是軟件系統試圖將64位浮點數轉換為16位浮點數，造成溢出錯誤。^[1]

• 溫哥華證券交易所曾開發了一項股票指數. 當其在1982年推出時，指數的值是1000.000。在後來的重新計算時多次運用捨入到小數點後三位的操作。22個月以後，指數的值是524.881，然而事實上應該是1009.811。^[1]