對數恆等式

在數學中，有許多對數恆等式。

代數恆等式

簡化計算

對數可以用來簡化計算。例如，兩個數可以只通過查表和相加而得到乘積。

${\displaystyle \,\log _{\theta }xy=\log _{\theta }x+\log _{\theta }y}$	對應到	${\displaystyle \,\theta ^{x}\theta ^{y}=\theta ^{x+y}}$
${\displaystyle \log _{\theta }{\frac {x}{y}}=\log _{\theta }x-\log _{\theta }y}$		${\displaystyle {\frac {\theta ^{x}}{\theta ^{y}}}=\theta ^{x-y}}$
${\displaystyle \,\log _{\theta }x^{y}=y\log _{\theta }x}$		${\displaystyle \,({\theta ^{x}})^{y}=\theta ^{xy}}$
${\displaystyle \log _{\theta }{\sqrt[{y}]{x}}={\frac {\log _{\theta }x}{y}}}$		${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}}$
${\displaystyle \,\log _{\theta }-x=\log _{\theta }x+\pi i\log _{\theta }e}$		歐拉恆等式：${\displaystyle \,e^{\pi i}+1=0}$

消去指數

同底的對數和指數會彼此消去。這是因為對數和指數是互逆運算（就像乘法和除法那樣）。

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	因為	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}$	因為	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}$

換底公式

${\displaystyle \log _{\theta }x={\frac {\log _{\phi }x}{\log _{\phi }\theta }}}$

在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如，大多數計算器有ln和log₁₀的按鈕，但卻沒有${\displaystyle \log _{2}}$的。要計算${\displaystyle \log _{2}(3)}$，只有計算${\displaystyle {\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}}$^{[註 1]}。

這個公式有許多推論：

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}}$

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$

${\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,}$

${\displaystyle {\pi (n)}}$是下標${\displaystyle 1,\ldots ,n}$的任意的排列。例如

${\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,}$

和/差公式

下面的和/差規則對概率論中的對數化概率的計算非常有用：

${\displaystyle \log _{\theta }(\mathrm {X} \pm \Upsilon )=\log _{\theta }\mathrm {X} +\log _{\theta }\left(1\pm {\frac {\Upsilon }{\mathrm {X} }}\right)}$^{[註 2]}

普通恆等式

${\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}$	因為	${\displaystyle b^{0}=1\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}$	因為	${\displaystyle b^{1}=b\!\,}$

注意${\displaystyle \log _{b}(0)\!\,}$無定義，因為沒有一個數${\displaystyle x\!\,}$使${\displaystyle b^{x}=0\!\,}$成立。

微積分恆等式

極限

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$

最後一個極限經常被總結為「${\displaystyle x}$的對數增長得比${\displaystyle x}$的任何次方或方根都慢」。^{[註 3]}

對數函數的導數

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}}$

積分定義

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

對數函數的積分

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

為了記憶積分，可以方便的定義：

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}$

於是，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}$

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$

求大數的近似數

對數恆等式可以用來求大數的近似數。 假設我們要得到第44個梅森質數${\displaystyle 2^{32582657}-1}$的近似值。先取對數（${\displaystyle -1}$被忽略），${\displaystyle 2^{32582657}}$以10為底的對數等於 32,582,657 與${\displaystyle \log _{10}(2)}$的乘積，計算得到${\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543}$。再取指數消去對數，得到最後結果為 ${\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}}$.

類似地，階乘的結果可以用每項的對數之和來近似。

註釋

1. 或${\displaystyle {\frac {\ln(3)}{\ln(2)}}}$，兩者結果一樣
2. 在使用時如果${\displaystyle \,\mathrm {X} <\Upsilon }$，等式右邊的${\displaystyle \,\mathrm {X} }$和${\displaystyle \,\Upsilon }$必須互換。在${\displaystyle \,\mathrm {X} =\Upsilon }$時，因為0的對數無定義，所以此時減法等式無定義。
3. 說函數的極限「等於無窮大」是不嚴密的，因為「無窮大」不是數。上面右邊是無窮大的等式的意思是，函數可以無限制的增加/減少。