在機率論和統計學中,指數分佈(英語:Exponential distribution)是一種連續機率分佈。指數分佈可以用來建模平均發生率恆定、連續、獨立的事件發生的間隔,比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。
Quick Facts 參數, 值域 ...
指數分配
機率密度函數 |
累積分佈函數 |
參數 |
率 |
---|
值域 |
|
---|
機率密度函數 |
|
---|
累積分佈函數 |
|
---|
期望值 |
|
---|
中位數 |
|
---|
眾數 |
|
---|
變異數 |
|
---|
偏度 |
|
---|
峰度 |
|
---|
熵 |
|
---|
動差母函數 |
|
---|
特徵函數 |
|
---|
Close
指數分佈即形狀參數α為1的伽瑪分佈。
若隨機變量服從參數為或的指數分佈,則記作
或
兩者意義相同,只是與互為倒數關係。只要將以下式子做的替換即可,即,指數分佈之機率密度函數為:
或
累積分佈函數為:
或
其中是分佈的參數,即每單位時間發生該事件的次數;為尺度參數,即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被稱為率參數(rate parameter)。指數分佈的區間是[0,∞)。
隨機變量X (X 的參數為λ或β) 的期望值是:
例如:如果你平均每個小時接到2次電話,那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。
X 的方差是:
X 的偏態系數是:
V[X] = 1
指數函數的一個重要特徵是無記憶性(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)。這表示如果一個隨機變量呈指數分佈,它的條件機率遵循:
泊松過程是一種重要的隨機過程。泊松過程中,第k次隨機事件與第k+1次隨機事件出現的時間間隔服從指數分佈。而根據泊松過程的定義,長度為t的時間段內沒有隨機事件出現的機率等於
- ,
長度為t的時間段內隨機事件發生一次的機率等於
,
所以第k次隨機事件之後長度為t的時間段內,第k+n次 (n=1, 2, 3,...)隨機事件出現的機率等於。這是指數分佈。這還表明了泊松過程的無記憶性。
給定獨立同分佈樣本x = (x1, ..., xn),λ的似然函數(Likelihood function)是:
其中:
- 是樣本期望值値。
似然函數對數的導數是:
參數λ的最大似然估計(Maximum likelihood)值是:
- Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
- Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401