狀態密度

在統計力學和凝態物理學中，狀態密度或態密度為某一能量附近每單位能量區間裏微觀狀態的數目，又叫做能態密度。在物理學中，具有同一能量的微觀狀態被稱為簡併的。簡併態的個數叫做簡併數。在離散能階處，簡併數就是相應能量的態密度。在連續和准連續能態處，設${\displaystyle g(E)}$為態密度，則處在能量E和E+dE區間的態的個數為${\displaystyle g(E)\mathrm {d} E}$。

態密度的重要性在於，在一個正則系綜中系統處在能量E到E+dE之間的機率為${\displaystyle \rho (E)\mathrm {d} E\propto g(E)\exp(-\beta E)\mathrm {d} E}$，其中${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$，${\displaystyle k_{B}}$ 為波茲曼常數。考慮到歸一化，

${\displaystyle \rho (E)={\frac {g(E)\exp(-\beta E)}{\int _{0}^{\infty }g(E)\exp(-\beta E)\mathrm {d} E}}}$

與配分函數的關係

配分函數可以寫成

${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }g(E)\exp(-\beta E)\mathrm {d} E}$

根據上式，態密度與配分函數通過拉普拉斯變換相聯繫，因此態密度可以通過配分函數表示為，

${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{s-i\infty }^{s+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\mathrm {d} \beta \quad (\Re s>0)}$

例子

古典理想氣體的態密度

古典理想氣體的態密度為，

${\displaystyle g(E)\approx {\frac {1}{N!}}\left({\frac {V}{h^{3}}}\right)^{N}{\frac {(2\pi m)^{3N/2}}{(3N/2-1)!}}E^{3N/2-1}}$

其中，V為系統佔據的體積，h為普朗克常數，N為粒子個數，m為單個粒子的質量。

理想玻色氣體的態密度

理想玻色氣體，例如，黑體腔中光子的態密度由普朗克公式給出，

${\displaystyle g(E)={\frac {1}{\hbar ^{2}\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {E^{3}}{e^{\beta E}-1}}}$

對於光子來說，E = ħω，ω為光子頻率。

零溫理想費米氣體的態密度

零溫理想費米氣體，例如，金屬中的電子的態密度為，

${\displaystyle g(E)={\frac {gV}{h^{3}}}4\pi p^{2}\left.{\frac {\partial {p}}{\partial {E}}}\right|_{E}}$

其中，g為費米子內秉自由度（如自旋，夸克味等）的個數，V為體積。 動量p和能量E的關係叫做色散關係。 非相對論性費米子的色散關係為，${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$。因此非相對論性的零溫理想費米氣體的態密度為，

${\displaystyle g(E)={\frac {g(2m)^{3/2}V}{4\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}}$

類似地，極端相對論性的費米子的色散關係為，${\displaystyle E=pc}$。因此相對論性的零溫理想費米氣體的態密度為，

${\displaystyle g(E)={\frac {gV}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}E^{2}}$

聲子氣體的德拜模型

在德拜模型中，聲子的能態密度為，

${\displaystyle g(\omega )=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {9N}{\omega _{D}^{3}}}\omega ^{2}&\quad {\text{ for }}\omega \leq \omega _{D};\\0&\quad {\text{ for }}\omega >\omega _{D}\\\end{array}}\right.}$

其中，ω_D叫做德拜頻率。

參看

• 正則系綜
• 相空間
• 配分函數
• 能帶理論
• 布里元區

參考文獻

1. Pathria, R. K. Statistical Mechanics 2nd. Butterworth Heinemann: Elsevier. 1997 [2013-09-20]. ISBN 978-0-7506-2469-5. （原始內容存檔於2019-06-09）.