懷特海問題

懷特海問題，是群論的一個重要問題，由美國數學家約翰·懷特海在1950年代提出。

給定環${\displaystyle \Lambda }$上的模${\displaystyle A,B,R}$，投射模${\displaystyle P}$以及正合列${\displaystyle R\rightarrow P\twoheadrightarrow A}$其中第一個箭頭由單同態${\displaystyle \mu }$實現，記

${\displaystyle \mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=\mathrm {Hom(R,B)} /\mathrm {Im} (\mu ^{*})}$，

這裏${\displaystyle \mu ^{*}}$是由${\displaystyle \mu }$自然導出的從${\displaystyle \mathrm {Hom} (P,B)}$到${\displaystyle \mathrm {Hom} (R,B)}$的同態。如果${\displaystyle \Lambda }$是整數環${\displaystyle \mathbb {Z} }$，則我們省去下標。注意任何一個阿貝爾群都可以看成一個整數模。

可以證明一個模${\displaystyle A}$是投射模若且唯若對於所有的模${\displaystyle B,\mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=0}$

每一個自由模都是投射模。同調代數中一個經典定理說如果${\displaystyle \Lambda }$是主理想整環，那麼每一${\displaystyle \Lambda }$自由模的子模也是自由的。特別地，整數環${\displaystyle \mathbb {Z} }$上的所有自由模的子模都是自由的。因為每一個投射模都是自由模的子模，所以${\displaystyle \mathbb {Z} }$上的投射模和自由模是一致的。

懷特海問題是同調代數中一個基本問題，其表述如下：

給定阿貝爾群A，${\displaystyle \mathrm {EXT} (A,\mathbb {Z} )=0}$若且唯若A是自由的。

因此懷特海問題可以看作${\displaystyle \mathbb {Z} }$上自由模的一個判別法則。

在ZFC下可以證明如果A是可數的阿貝爾群，那麼懷特海問題是正確的. Shelah於1974年證明了如果${\displaystyle V=L}$（即可構成公理成立），那麼對每一個基數為${\displaystyle \aleph _{1}}$的阿貝爾群，懷特海問題是對的。同時，如果馬丁公理成立並且連續統假設不成立，那麼存在一個基數為${\displaystyle \aleph _{1}}$的阿貝爾群使得懷特海問題是錯的。最終地，Shelah於1975年證明了如果${\displaystyle V=L}$，那麼懷特海問題對於所有阿貝爾群成立。