德汝德模型

電傳導的德汝德模型在1900年^{[1] [2]} 由保羅·德汝德提出，以解釋電子在物質（特別是金屬）中的輸運性質。這個模型是分子運動論的一個應用，假設了電子在固體中的微觀表現可以用經典的方法處理，很像一個彈珠台，其中電子不斷在較重的、相對固定的正離子之間來回反彈。

德汝德模型中的電子（藍色）不斷在較重的、靜止的晶體離子中間（紅色）徘徊。

德汝德模型的兩個最重要的結果是電子的運動方程式：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},}$

以及電流密度${\displaystyle J}$與電場${\displaystyle E}$之間的線性關係：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

在這裏，${\displaystyle t}$代表時間，${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$、${\displaystyle n}$、${\displaystyle m}$和${\displaystyle \tau }$分別代表電子的動量、電荷、數密度、質量、以及與離子碰撞之間的平均自由時間。後一個表達式尤其重要，因為它用半定量的術語解釋了為什麼歐姆定律（電磁學中最普遍存在的一個關係）應該是正確的。^{[3] [4] [5]}

解釋

直流電場

德汝德模型最簡單的分析，假設了電場${\displaystyle \mathbf {E} }$既是均勻的又是恆定的，且電子的熱速度足夠大，使得它們在碰撞之間僅僅積累了無窮小的動量${\displaystyle d\mathbf {p} }$，這平均每隔${\displaystyle \tau }$秒發生一次。^[3]

於是，在時間${\displaystyle t}$分離的電子自從它上一次碰撞將平均運動了${\displaystyle \tau }$秒，因此將積累了動量：

${\displaystyle d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

在它上一次碰撞期間，這個電子向前面反彈的機會將剛剛與向後面反彈的機會相等，因此所有對電子動量的之前的貢獻都可以忽略，便得到表達式：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

代入以下關係：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

便得出上面提到的歐姆定律的表述：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

時變分析

電子的運動也可以通過引入一個有效的阻力來描述。在時間${\displaystyle t=t_{0}+dt}$，電子的平均動量將為：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt+...\right),}$

由於平均來說，${\displaystyle (1-dt/\tau )}$個電子將不經歷另外一次碰撞，而那些經歷另外一次碰撞的電子將對總的動量僅有可忽略的貢獻。^[6]

經過一番計算，便得出以下的微分方程式：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$

其中${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle }$表示平均動量，m表示有效質量，q表示電子的電荷。這是一個非齊次微分方程式，它的通解為：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} +\mathbf {C} e^{-t/\tau }}$

於是，穩態解（${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =0}$）為：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} ,}$

像上面一樣，平均動量可以與平均速度有關，而這又可以與電流密度有關：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

於是可以證明，物質滿足歐姆定律，其直流電電導率為${\displaystyle \,\sigma _{0}}$：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

德汝德模型還可以預言在角頻率為${\displaystyle \,\omega }$的時變電場的響應下的電流，在這種情況下：

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}.}$

這裏假設了

${\displaystyle E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t});}$

${\displaystyle J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}).}$

還存在另一種慣例，所有方程式中的${\displaystyle \,i}$都用${\displaystyle \,-i}$來代替。虛數部分表示電流落後於電場，這是由於電子大約需要時間${\displaystyle \,\tau }$來對電場的變化作出響應。這裏德汝德模型是應用於電子的；它既可以應用於電子，又可以應用於電洞，也就是說，半導體中的正電荷載流子。

模型的準確性

這個簡單、經典的德汝德模型提供了金屬中的直流電和交流電傳導、霍爾效應，以及熱傳導的非常好的解釋。這個模型也解釋了1853年發現的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金屬的電子熱容。實際上，金屬和絕緣體在常溫下的熱容大致上相等。雖然模型可以應用於正電荷（電洞）載流子，像霍爾效應所驗證的那樣，它並不預言它們的存在。

德汝德在最初的論文中犯了一個概念性的錯誤，他估計電導率僅有實際值的一半。^[7]

參見

• 自由電子模型
• 阿諾·索末菲
• 經典和量子傳導
• 電導率

參考文獻

1. Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der metalle. Annalen der Physik. 1900, 306 (3): 566.^{[永久失效連結]}
2. Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte. Annalen der Physik. 1900, 308 (11): 369.^{[永久失效連結]}
3. Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 6–7. ISBN 0-03-083993-9. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
4. Edward M. Purcell. Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. 1965: 117–122. ISBN 978-0070049086.
5. David J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall. 1999: 289. ISBN 978-81-203-161-0 請檢查|isbn=值 (幫助).
6. Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 11. ISBN 0-03-083993-9. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
7. Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 23. ISBN 0-03-083993-9. 引文使用過時參數coauthors (幫助)