康托爾集

在數學中，康托爾集（Cantor set）由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入^[1][2]（但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯（英語：Henry John Stephen Smith）在1875年發現^[3][4][5][6]），是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。

一種像康托爾集圖案的柱頭。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828 請檢查|date=中的日期值 (幫助) 菲萊島雕塑

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康托爾集的構造

康托爾集是由不斷去掉線段的中間三分之一的開集而得出。首先從區間${\displaystyle \left[0,1\right]}$中去掉中間的三分之一${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$，留下兩條線段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$。然後，把這兩條線段的中間三分之一都去掉，留下四條線段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$。康托爾集就是由所有過程中沒有被去掉的區間${\displaystyle [0,1]}$中的點組成。這個過程可以由遞歸的方法描述，首先令：

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

則第${\displaystyle n}$步遞歸得到的結果：

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)}$, 對於${\displaystyle n\geq 1}$

所以：

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }C_{n}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$, 對於 ${\displaystyle m\geq 0}$.

下面的圖顯示了這個過程的最初六個步驟。

有些學術論文詳細描述了康托爾集的明確公式。^[7][8]

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參見

• 康托爾函數
• 康托爾立方體（英語：Cantor cube）
• 謝爾賓斯基地毯
• 科赫雪花
• 門格海綿
• 分形列表（英語：List of fractals by Hausdorff dimension）

註釋

1. Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
2. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.
3. Henry J.S. Smith (1875) 「On the integration of discontinuous functions.」 Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
4. 「康托爾集」還由Paul du Bois-Reymond發現（1831–1889）。參見：Paul du Bois-Reymond (1880) 「Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung，」 Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128頁的腳註。「康托爾集」還由Vito Volterra在1881年發現（1860–1940）。參見：Vito Volterra (1881) 「Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue」 [Some observations on point-wise discontinuous functions]，Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
5. José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
6. Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
7. Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
8. Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

參考文獻

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446 (See example 29).
• Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
• cut-the-knot上的康托爾集 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• cut-the-knot上的康托爾集與函數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

• Cantor Sets （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） and Cantor Set and Function （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot