龐加萊不等式

數學中，龐加萊不等式（英語：Poincaré inequality）是索伯列夫空間理論中的一個結果，由法國數學家昂利·龐加萊命名。這個不等式說明了一個函數的行為可以用這個函數的變化率的行為和它的定義域的幾何性質來控制。也就是說，已知函數的變化率和定義域的情況下，可以對函數的上界作出估計。龐加萊不等式在現代的變分法理論中有重要應用。一個與之相近的結果是弗里德里希不等式（英語：Friedrichs's inequality）。

敘述

經典形式

設p是一個大於等於1的實數，n是一個正整數。${\displaystyle \Omega }$ 是n維歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的一個有界開子集，並且其邊界是滿足利普希茲條件的區域（也就是說它的邊界是一個利普希茨連續函數的圖像）。在這種情況下，存在一個只與${\displaystyle \Omega }$ 和p有關的常數C，使得對索伯列夫空間${\displaystyle \mathbb {W} ^{1,p}(\Omega )}$ 中所有的函數u，都有：

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}$

其中的${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}}}$ 指的是L^p空間之中的範數，

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

是函數u在定義域${\displaystyle \Omega }$ 上的平均值，而${\displaystyle |\Omega |}$指的是區域${\displaystyle \Omega }$的勒貝格測度。

推廣

在其他的索伯列夫空間上也有與龐加萊不等式類似的結果。比如說，定義空間H^1/2(T²)是單位環面T²上的L^p空間中傅里葉變換û滿足

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty :}$

的函數u所構成的空間，那麼存在一個常數C，使得對於每個H^1/2(T²)中的函數u，如果它在單位環面T²的某個開子集上恆等於零，那麼就有

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

其中的${\displaystyle \mathrm {cap} (E\times \{0\})}$ 指的是${\displaystyle E\times \{0\}}$作為一個R³中的子集的調和容度^[1]。

龐加萊常數

以上不等式中的常數C的最優值被稱為區域${\displaystyle \Omega }$ 中的龐加萊常數。確定一個區域的龐加萊常數通常是一個困難的工作，與常數p的值以及區域${\displaystyle \Omega }$ 的幾何性質有關。在某些特定的條件下，比如已知區域${\displaystyle \Omega }$ 是一個有界的凸區域，並且直徑是d，那麼當p=1的時候，龐加萊常數至多等於${\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{2}}}$^[2]。而當p=2的時候，龐加萊常數至多等於${\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{\pi }}}$^[3]。這是只包含直徑d的最佳估計。在維數是一維的時候，有維廷格函數不等式（英語：Wirtinger's inequality）。

然而，在特殊情況下，龐加萊常數C可以被完全確定。例如，當p=2，區域是單位等腰直角三角形的時候，可以得出龐加萊常數${\displaystyle \scriptstyle C={\frac {1}{\pi }}}$，這個值嚴格小於估計${\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{\pi }}}$，因為這時${\displaystyle \scriptstyle {d={\sqrt {2}}}}$。

參見

• 索博列夫不等式

參考來源

1. Garroni, Adriana; Müller, Stefan, Γ-limit of a phase-field model of dislocations (PDF), SIAM J. Math. Anal., 2005, 36 (6): 1943–1964 (electronic), doi:10.1137/S003614100343768X^{[永久失效連結]} MR2178227
2. Acosta, Gabriel; Durán, Ricardo G., An optimal Poincaré inequality in L¹ for convex domains (PDF), Proc. Amer. Math. Soc., 2004, 132 (1): 195–202 (electronic), doi:10.1090/S0002-9939-03-07004-7
3. M, Bebendorf, A Note on the Poincar´e Inequality for Convex Domains (PDF), Journal for Analysis and its Applications, 2003, 22 (4): 751–756, （原始內容 (PDF)存檔於2012-05-26）

• Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, RI: American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2
• Fumio, Kikuchi; Xuefeng, Liu, Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements, Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg., 2007, 196: 3750–3758, doi:10.1016/j.cma.2006.10.029 MR2340000

• Payne, L. E.; Weinberger, H. F., An optimal Poincaré inequality for convex domains, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1960: 286–292, ISSN 0003-9527