導出拓撲

在拓撲學與相關數學領域裏，導出拓撲（英語：induced topology，或譯誘導拓撲）是指透過拓撲空間與某個集合間的函數，所導出該集合之拓撲。該集合可能是函數的定義域或對應域。

定義

導出拓撲的定義如下：

令 X₀、X₁ 為集合，${\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}}$ 為由 X₀ 映射至 X₁ 的函數。

若 ${\displaystyle \tau _{0}}$ 為 X₀ 上的拓撲，則由 ${\displaystyle f}$ 在 X₁ 上導出之拓撲為 ${\displaystyle \{U_{1}\subseteq X_{1}|f^{-1}(U_{1})\in \tau _{0}\}}$。

若 ${\displaystyle \tau _{1}}$ 為 X₁ 上的拓撲，則由 ${\displaystyle f}$ 在 X₀ 上導出之拓撲為 ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{1})|U_{1}\in \tau _{1}\}}$。

可以看到，上述兩個定義都是使用原像，因為原像會維持集合的交集與併集，但像則不一定可以。舉例來說，考慮一具有拓撲 ${\displaystyle \{\{-2,-1\},\{1,2\}\}}$ 之集合 ${\displaystyle X_{0}=\{-2,-1,1,2\}}$、一集合 ${\displaystyle X_{1}=\{-1,0,1\}}$，以及一函數 ${\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}}$，使得 ${\displaystyle f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1}$。可知，${\displaystyle \tau _{1}=\{f(U_{0})|U_{0}\in \tau _{0}\}}$ 不會形成一個拓撲，因為 ${\displaystyle \{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq \tau _{1}}$，但 ${\displaystyle \{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}}$。

下面為導出拓撲的等價定義：

由 f 在 X₁ 上導出之拓撲 ${\displaystyle \tau _{1}}$ 為使得 f 是連續的最精細拓撲。此一拓撲為 X₁ 上終拓撲之一例。

由 f 在 X₀ 上導出之拓撲 ${\displaystyle \tau _{0}}$ 為使得 f 是連續的最粗糙拓撲。此一拓撲為 X₀ 上初拓撲之一例。

例子

• 商拓撲是個由商映射導出之拓撲。
• 若 f 是個包含映射，則 f 在 X₀ 上會導出子空間拓撲。

參考資料

• Hu, Sze-Tsen. Elements of general topology. Holden-Day. 1969.

另見

• 自然拓撲