對數積分
li
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)}
特殊函數 。它出現在物理學 的問題中，在數論 中也有重要性，主要出現在與質數定理 與黎曼猜想 的相關理論之中。
對數積分
對數積分有一個積分的表示法，對所有的正實數
x
≠
1
{\displaystyle x\neq 1}
li
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
ln
(
t
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}}
在這裏，ln表示自然對數 。函數1/ln (t )在t = 1處有一個奇異點 ，當x > 1時，這個積分只能用柯西主值 的概念來解釋：
li
(
x
)
=
lim
ε
→
0
(
∫
0
1
−
ε
d
t
ln
(
t
)
+
∫
1
+
ε
x
d
t
ln
(
t
)
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)}
由於這個積分在x趨近於1時，值會趨近於負無窮大，有些數學家為了避免麻煩，常會選擇另外一個相似的定義，歐拉對數積分 定義為：
Li
(
x
)
=
li
(
x
)
−
li
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)}
或
Li
(
x
)
=
∫
2
x
d
t
ln
t
{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}
函數li(x )有一個正根，它出現在x ≈ 1.45136 92348 ...。這個數稱為Ramanujan-Soldner常數 。
li
(
2
)
=
−
(
Γ
(
0
,
−
ln
2
)
+
i
π
)
∼
1.045163780117492784844588889194613136522615578151
{\displaystyle \operatorname {li} (2)=-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )\sim 1.045163780117492784844588889194613136522615578151}
其中
Γ
(
a
,
x
)
{\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)}
不完全伽瑪函數 。
函數li(x )與指數積分 Ei(x )有以下的關係：
li
(
x
)
=
Ei
(
ln
(
x
)
)
{\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln(x))}
其中
x
>
1
{\displaystyle x>1}
x )的一個級數表示法：
li
(
e
u
)
=
Ei
(
u
)
=
γ
+
ln
u
+
∑
n
=
1
∞
u
n
n
⋅
n
!
for
u
≠
0
{\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{for }}u\neq 0}
其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是歐拉-馬歇羅尼常數 。一個收斂得更快的級數，是：
li
(
x
)
=
γ
+
ln
ln
x
+
x
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
ln
x
)
n
n
!
2
n
−
1
∑
k
=
0
⌊
(
n
−
1
)
/
2
⌋
1
2
k
+
1
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\;2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}
當x → ∞，函數有以下的漸進表現：
li
(
x
)
=
O
(
x
ln
(
x
)
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)={\mathcal {O}}\left({x \over \ln(x)}\right)}
其中
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
大O符號 。完整的漸近展開式 為：
li
(
x
)
=
x
ln
x
∑
k
=
0
∞
k
!
(
ln
x
)
k
{\displaystyle \operatorname {li} (x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}
或
li
(
x
)
x
/
ln
x
=
1
+
1
ln
x
+
2
(
ln
x
)
2
+
6
(
ln
x
)
3
+
⋯
{\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}=1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots }
注意，作為漸近展開式，這個級數是發散 的：只有級數前面有限個項才是較好的估計。這個展開式可從指數積分 的漸近展開式直接推出。
對數積分在數論 中十分重要，出現在小於某個整數的質數 個數的估計中。例如，質數定理 表明：
π
(
x
)
∼
Li
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)}
其中π(x )是小於或等於x 的質數的個數。
