對數積分是一個特殊函數。它出現在物理學的問題中,在數論中也有重要性,主要出現在與質數定理與黎曼猜想的相關理論之中。
積分表示法
對數積分有一個積分的表示法,對所有的正實數都有定義:
在這裏,ln表示自然對數。函數1/ln (t)在t = 1處有一個奇異點,當x > 1時,這個積分只能用柯西主值的概念來解釋:
特殊值與歐拉對數積分
由於這個積分在x趨近於1時,值會趨近於負無窮大,有些數學家為了避免麻煩,常會選擇另外一個相似的定義,歐拉對數積分定義為:
或
函數li(x)有一個正根,它出現在x ≈ 1.45136 92348 ...。這個數稱為Ramanujan-Soldner常數。
其中是不完全伽瑪函數。
級數表示法
函數li(x)與指數積分Ei(x)有以下的關係:
其中。這個等式提供了li(x)的一個級數表示法:
其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是歐拉-馬歇羅尼常數。一個收斂得更快的級數,是:
漸近展開式
當x → ∞,函數有以下的漸進表現:
或
注意,作為漸近展開式,這個級數是發散的:只有級數前面有限個項才是較好的估計。這個展開式可從指數積分的漸近展開式直接推出。
數論中的重要性
對數積分在數論中十分重要,出現在小於某個整數的質數個數的估計中。例如,質數定理表明:
其中π(x)是小於或等於x的質數的個數。
參見
參考文獻
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
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