對偶碼

在編碼理論中，線性碼（英語：linear code）的對偶碼（英語：dual code）

${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

是有如下定義

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\}}$

的線性碼，其中

${\displaystyle \langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}c_{i}}$

是一個數量積。用線性代數的屬於來說，對偶碼是 C 對雙線性形式 <,> 的零化子（英語：Annihilator (ring theory)）。 C 的維數與其對偶的維數加起來總為長度 n：

${\displaystyle \dim C+\dim C^{\perp }=n.}$

對偶碼的生成矩陣是原碼的奇偶檢驗矩陣，反之亦然。對偶碼的對偶總是原碼。

參考文獻

• Hill, Raymond. A first course in coding theory. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press. 1986: 67. ISBN 0-19-853803-0.
• Pless, Vera. Introduction to the theory of error-correcting codes. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics. John Wiley & Sons. 1982: 8. ISBN 0-471-08684-3.
• J.H. van Lint. Introduction to Coding Theory. GTM 86 2nd. Springer-Verlag. 1992: 34. ISBN 3-540-54894-7.

外部連結

• MATH32031: Coding Theory - Dual Code - pdf with some examples and explanations