孟氏定理

孟氏定理（Menelaus' theorem），以古希臘數學家梅涅勞斯（英語：Menelaus of Alexandria）為名。它指出：如果一直線與${\displaystyle \triangle ABC}$的邊BC、CA、AB或其延長線分別交於L、M、N，則有：

${\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1}$。

情況1：直線LNM穿過三角形ABC

情況2：直線LNM在三角形ABC外面(M與N位置可能有錯）

它的逆定理也成立：若有三點L、M、N分別在${\displaystyle \triangle ABC}$的邊BC、CA、AB或其延長線上（有一點或三點在延長線上），且滿足

${\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1}$

則L、M、N三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。 如果在上式中線段用有向線段表示，那麼右面的結果為-1。

該定理與塞瓦定理的等式僅在條件上有所不同，二者互為對偶定理。

證明

面積法證明

如情況一，連接${\displaystyle AL}$、${\displaystyle CN}$，有

${\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNA}}{\mathrm {S} _{\triangle LNB}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNB}}{\mathrm {S} _{\triangle LNC}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNC}}{\mathrm {S} _{\triangle ANL}}}=1}$

正弦定理證明

如情況一，設${\displaystyle \angle ANM=\alpha }$，${\displaystyle \angle AMN=\beta }$，${\displaystyle \angle MLC=\gamma }$，則在${\displaystyle \triangle AMN}$中由正弦定理，有

${\displaystyle {\frac {AN}{AM}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},}$

同理，因對頂角相等在${\displaystyle \triangle NBL}$和${\displaystyle \triangle CLM}$中有

${\displaystyle {\frac {BL}{BN}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }},}$

及

${\displaystyle {\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}.}$

三式相乘即得

${\displaystyle {\frac {AN}{AM}}\cdot {\frac {BL}{BN}}\cdot {\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}\cdot {\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}=1,}$

即

${\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1.}$

歷史

目前不確定是誰首先發現了孟氏定理。現存最早的關於定理的內容出現在梅涅勞斯的著作《球面三角學》中。在本書中，定理的平面版本被用作證明該定理的球形版本的引理。^[1]

在《天文學大成》中，托勒密將該定理應用於球形天文學中的許多問題。^[2] 在伊斯蘭黃金時代，穆斯林學者投入了大量從事孟氏定理研究的著作，他們稱之為「關於割線的命題」（shakl al-qatta'）。完全四邊形在他們的術語中被稱為「割線圖」。比魯尼的作品「天文學的鑰匙」列出了其中的一些作品；這些作品都可被歸類為托勒密的《天文學大成》內容的一部分，如al-Nayrizi和al-Khazin的作品，其中每個作品都展示了孟氏定理的特殊形式（如用角的正弦表示的等式），或作為獨立論文組成的作品，例如：

塔比·伊本·庫拉撰寫的「關於割線圖的論述」（Risala fi shakl al-qatta'）。^[2] Husam al-DIn al-Salar的《揭開割線圖的奧秘》（Kashf al-qina'as asrar al-shakl al-qatta'），也被稱為《割線圖之書》（Kitab al-shakl al-qatta') ，或在歐洲被稱為「完全四邊形的論文」。 Al-Tusi和Nasir al-Din al-Tusi提到了其中丟失的內容。^[2] 阿爾·錫傑齊的工作。^[3] Abu Nasr ibn的《Tahdhib》。^[3] Roshdi Rashed和Athanase Papadopoulos，Menelaus'Spherics的早期翻譯和al-Mahani'/ al-Harawi的版本（來自阿拉伯手稿的Menelaus Spherics的重要版本，以及歷史和數學評論）, De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages. ISBN 978-3-11-057142-4

延伸閱讀

• Russell, John Wellesley. Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press. 1905.

參見

• 塞瓦定理

參考文獻

1. Smith, D.E. History of Mathematics II. Courier Dover Publications. 1958: 607. ISBN 0-486-20430-8.
2. Rashed, Roshdi. Encyclopedia of the history of Arabic science 2. London: Routledge. 1996: 483. ISBN 0-415-02063-8.
3. Moussa, Ali. Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations. Arabic Sciences and Philosophy (Cambridge University Press). 2011, 21 (1). doi:10.1017/S095742391000007X.

外部連結

• Alternate proof （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） of Menelaus's theorem, from PlanetMath
• Menelaus From Ceva （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Ceva and Menelaus Meet on the Roads （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Menelaus and Ceva at MathPages
• Demo of Menelaus's theorem （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
• 埃里克·韋斯坦因. Menelaus' Theorem. MathWorld.