對
、
。
應用特徵值的最小-最大定理。這裏
是
的i維子空間。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a564f05991cb5c030010b6a4bca5633813aa76)
矩陣轉置和共軛不會改變奇異值。
![{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0894891facc98c1d8b789c0a588f99c4b4fe4a)
對任意酉矩陣
![{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9aa8528195e9eb5e6c7450b04b43e339e697f5)
與特徵值的關係:
![{\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc96b6d32dde74c9181cb64ee834f47cb8807a0b)
與跡的關係:
.
若
滿秩,則奇異值的積是
。
若
滿秩,則奇異值的積是
。
若A滿秩,則奇異值的積是
。
對
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b73af6893a803f9fd942a1f6daf2d097dad1324)
![{\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42da7d1781885ed64077899885e5e4c26a1c67a4)
對
![{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73db049607132111d80e2ff2cb6a211b284abca)
![{\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b389e60e5a144b89283328165fc26e6855ba7e)
對
[2]
對
.
- 見[3]
![{\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27299912942f88e21c8c2f51382aeddbfcc34828)
- 假設
,則對
:
- 外爾定理
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605917a33d8dedafe1fdd0ef5daf491eeb195356)
- 對
。![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c3a33fc1cc1abbcf7068500af5f2ce426fd7d6)
奇異值這一概念由埃哈德·施密特(1907)提出,當時稱奇異值為「特徵值」。「奇異值」的名稱由史密斯於1937年首次使用。1957年,Allahverdiev證明了第n個奇異值的如下特徵:[4]
![{\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{的秩}}<n\,{\big \}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1fca5f2a73572fb88aca02da0c5f0690a31f94)
這種表述使奇異值概念可以推廣到巴拿赫空間的算子。
注意還有更一般的s-數(s-number)概念,也包括蓋爾范德和柯爾莫哥洛夫寬。
R. A. Horn and C. R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3
X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28
R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1
I. C. Gohberg and M. G. Krein. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.