四次方程

四次方程，是未知數最高次數不超過四次的多項式方程。一個典型的一元四次方程的通式為：

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$ 其中 ${\displaystyle a\neq 0\,}$

${\displaystyle y=7x^{4}+9x^{3}-24x^{2}-28x+48}$的圖形

本篇只討論一元四次方程，並簡稱為四次方程。

四次方程的解法

數學家們為了解開四次方程——確切地說，找到解開四次方程的方法——做出了許多努力。像其它多項式一樣，有時可以對四次方程進行因式分解；但高次冪下的因式分解往往非常困難，尤其是當根是無理數或複數時。因此找到一個公式解（就像二次方程的求根公式那樣， 能解所有的一元二次方程）意義重大。經過諸多研究後，數學家們終於找到了四次方程的公式解。不過之後埃瓦里斯特·伽羅瓦證明，求根公式止步於四次方程，更高次冪的方程無法通過固定的公式求出。對於五次及以上的方程，需要一種更為有效的方式來求解。

由於四次方程的複雜性（參見下文），求解公式並不常用。如果只要求求解有理實根，可以使用試錯法，該方法對於任意次數的多項式求解都有效。或是使用魯菲尼法則求出，前提是所給的多項式的系數都是有理的。利用計算機編程，通過牛頓法等數值方法，可以輕易得到任意次方程的實數（數值）解。

特殊情況

名義上的四次方程

如果${\displaystyle e=0\,}$，那麼其中一個根為${\displaystyle x=0\,}$，其它根可以通過消去四次項，並解產生的三次方程,

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$

雙二次方程

四次方程式中若${\displaystyle b\ }$ 和 ${\displaystyle d\ }$ 均為 ${\displaystyle 0\ }$者有下列形態：

${\displaystyle ax^{4}+cx^{2}+e=0\,\!}$

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易，只要設 ${\displaystyle z=x^{2}\,}$ ，我們的方程式便成為：

${\displaystyle az^{2}+cz+e=0\,\!}$

這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解：

${\displaystyle z={{-c\pm {\sqrt {c^{2}-4ae}}} \over {2a}}\,\!}$

當我們求得 z 的值以後，便可以從中得到${\displaystyle x\,}$ 的值：

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{1}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}\,\!}$

若任何一個 ${\displaystyle z\,}$ 的值為負數或複數，那麼一些 ${\displaystyle x\,}$ 的值便是複數。

費拉里的方法

開始時，四次方程首先要被轉化為低級的四次方程式。

轉變成減少次數的四次方程

要讓以下四次方程式變成標準的四次方程式，先在等式兩邊分別除以${\displaystyle a\,}$

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad \qquad (1')}$

${\displaystyle x^{4}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0.}$

第一步：消除 ${\displaystyle x^{3}\,}$列。為了做到這一步，先把變量${\displaystyle x\,}$變成${\displaystyle u\,}$，其中

${\displaystyle x=u-{b \over 4a}}$.

將變量替換：${\displaystyle \left(u-{b \over 4a}\right)^{4}+{b \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{3}+{c \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{2}+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.}$

展開後變成：${\displaystyle \left(u^{4}-{b \over a}u^{3}+{6u^{2}b^{2} \over 16a^{2}}-{4ub^{3} \over 64a^{3}}+{b^{4} \over 256a^{4}}\right)+{b \over a}\left(u^{3}-{3u^{2}b \over 4a}+{3ub^{2} \over 16a^{2}}-{b^{3} \over 64a^{3}}\right)+{c \over a}\left(u^{2}-{ub \over 2a}+{b^{2} \over 16a^{2}}\right)+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.}$

整理後變成以u為變量的表達式

${\displaystyle u^{4}+\left({-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a}\right)u^{2}+\left({b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a}\right)u+\left({-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}\right)=0.}$

現在改變表達式的系數，為

${\displaystyle \alpha ={-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},}$

${\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},}$

${\displaystyle \gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}.}$

結果就是我們期望值的低級四次方程式，為

${\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0\qquad \qquad (1)}$

如果 ${\displaystyle \beta =0\,}$ 那麼等式就變成了雙二次方程式，更加容易解決（解釋上面）；利用反向替代，我們可以獲得我們要解決的變量 ${\displaystyle x\,}$的值.

費拉里的解法

這種降低的四次方程的方法是被費拉里發現的，然而，這種方式曾經被發現過。接下來，利用一個恆等式

${\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}-u^{4}-2\alpha u^{2}=\alpha ^{2}\,}$

從方程 (1)和上式，得出：

${\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}+\beta u+\gamma =\alpha u^{2}+\alpha ^{2}.\qquad \qquad (2)}$

結果把 ${\displaystyle u^{4}\,}$配成了完全平方式：${\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}\,}$。左式中，${\displaystyle \alpha u^{2}\,}$ 並不出現，但其符號已改變並被移到右邊。

下一步是在方程${\displaystyle \left(2\right)\,}$ 左邊的完全平方中插入變量 ${\displaystyle y\,}$，相應地在右邊插入一項${\displaystyle 2y\,}$。根據恆等式

${\displaystyle {\begin{matrix}(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}&=&2y(u^{2}+\alpha )+y^{2}\ \ \\&=&2yu^{2}+2y\alpha +y^{2},\end{matrix}}}$

及

${\displaystyle 0=(\alpha +2y)u^{2}-2yu^{2}-\alpha u^{2}\,}$兩式相加，可得

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\alpha u^{2}+2y\alpha +y^{2}\qquad \qquad }$（${\displaystyle y\,}$的插入）

與等式(2)相加，得

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}+\beta u+\gamma =(\alpha +2y)u^{2}+(2y\alpha +y^{2}+\alpha ^{2})\,}$

也就是

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\beta u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma ).\qquad \qquad (3)}$

現在我們需要尋找一個${\displaystyle y\,}$值，使得方程${\displaystyle \left(3\right)\,}$的右邊為完全平方。而這只要令二次方程的判別式為零。為此，首先展開完全平方式為二次式：

${\displaystyle (su+t)^{2}=(s^{2})u^{2}+(2st)u+(t^{2})\,}$

右邊的二次式有三個系數。可以驗證，把第二項系數平方，再減去第一與第三項系數之積的四倍，可得到零：

${\displaystyle (2st)^{2}-4(s^{2})(t^{2})=0\,}$

因此，為了使方程(3)的右邊為完全平方，我們必須解出下列方程：

${\displaystyle (-\beta )^{2}-4(2y+\alpha )(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=0\,}$

把二項式與多項式相乘，

${\displaystyle \beta ^{2}-4[2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+(\alpha ^{3}-\alpha \gamma )]=0\,}$兩邊除以${\displaystyle 4\,}$，再把${\displaystyle -{\frac {\beta ^{2}}{4}}\,}$移動到右邊，

${\displaystyle 2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+\left(\alpha ^{3}-\alpha \gamma -{\beta ^{2} \over 4}\right)=0\qquad \qquad }$

這是關於${\displaystyle y\,}$的三次方程。兩邊除以${\displaystyle 2\,}$，

${\displaystyle y^{3}+{5 \over 2}\alpha y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )y+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.\qquad \qquad (4)}$

轉化嵌套的三次方程為降低次數的三次方程

方程${\displaystyle \left(4\right)\,}$是嵌套的三次方程。為了解方程${\displaystyle \left(4\right)\,}$，我們首先用換元法把它轉化為減少次數的三次方程：

${\displaystyle y=v-{5 \over 6}\alpha .}$

方程${\displaystyle \left(4\right)\,}$變為

${\displaystyle \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{3}+{5 \over 2}\alpha \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\left(v-{5 \over 6}\alpha \right)+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}$

展開，得

${\displaystyle \left(v^{3}-{5 \over 2}\alpha v^{2}+{25 \over 12}\alpha ^{2}v-{125 \over 216}\alpha ^{3}\right)+{5 \over 2}\alpha \left(v^{2}-{5 \over 3}\alpha v+{25 \over 36}\alpha ^{2}\right)+(2\alpha ^{2}-\gamma )v-{5 \over 6}\alpha (2\alpha ^{2}-\gamma )+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}$

合併同類項，得

${\displaystyle v^{3}+\left(-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma \right)v+\left(-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}$

這是嵌套的三次方程。

記

${\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}$

${\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}.}$

則此三次方程變為

${\displaystyle v^{3}+Pv+Q=0.\qquad \qquad (5)}$

解嵌套的降低次數的三次方程

方程${\displaystyle \left(5\right)\,}$的解(三個解中任何一個都可以)為

令 ${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{{-Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}$

（由三次方程）

${\displaystyle v=U-{P \over 3U}}$

則原來的嵌套三次方程的解為

${\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha -{P \over 3U}+U\qquad \qquad (6)}$

注意 ${\displaystyle \left(1\right)\,}$： ${\displaystyle P=0\Longrightarrow {Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}=0}$

注意 ${\displaystyle \left(2\right)\,}$： ${\displaystyle \lim _{P\to 0}{P \over {\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}=0}$

配成完全平方項

${\displaystyle y\,}$的值已由${\displaystyle \left(6\right)\,}$式給定，現在知道等式${\displaystyle \left(3\right)\,}$的右邊是完全平方的形式

${\displaystyle s^{2}u^{2}+2stu+t^{2}=\left({\sqrt {s^{2}}}u+{2st \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

這對於平方根的正負號均成立，只要等式兩邊取相同的符號。${\displaystyle A\,}$的正負是多餘的，因為它將被本頁後面馬上將提到的另一個${\displaystyle \pm a\,}$消去。

從而它可分解因式為：

${\displaystyle (\alpha +2y)u^{2}+(-\beta )u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=\left[{\sqrt {\alpha +2y}}u+{(-\beta ) \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right]^{2}}$.

註：若 ${\displaystyle \beta \neq 0\,}$ 則 ${\displaystyle \alpha +2y\neq 0\,}$。如果 ${\displaystyle \beta =0\,}$則方程為雙二次方程，前面已討論過。

因此方程${\displaystyle \left(3\right)\,}$化為

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=\left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)^{2}\qquad \qquad (7)}$.

等式${\displaystyle \left(7\right)\,}$兩邊各有一個乘起來的完全平方式。兩完全平方式相等。

如果兩平方式相等，則兩平方式的因子也相等，即有下式：

${\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)=\pm \left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)\qquad \qquad (7')}$.

對 ${\displaystyle u\,}$合併同類項，得

${\displaystyle u^{2}+\left(\mp _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\right)u+\left(\alpha +y\pm _{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)=0\qquad \qquad (8)}$.

註：${\displaystyle \pm _{s}}$ 及 ${\displaystyle \mp _{s}}$ 中的下標${\displaystyle s\,}$ 用來標記它們是相關的。

方程${\displaystyle \left(8\right)\,}$是關於${\displaystyle u\,}$的二次方程。其解為

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {(\alpha +2y)-4(\alpha +y\pm _{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}})}} \over 2}.}$

化簡，得

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.}$

這就是降低次數的四次方程的解，因此原來的四次方程的解為

${\displaystyle x=-{b \over 4a}+{\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.\qquad \qquad (8')}$

注意：兩個 ${\displaystyle \pm _{s}}$ 來自等式${\displaystyle \left(7^{'}\right)\,}$的同一處，並且它們應有相同的符號，而 ${\displaystyle \pm _{t}}$ 的符號是無關的。

費拉里方法的概要

給定一個四次方程

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

其解可用如下方法求出：

${\displaystyle \alpha =-{3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},}$

${\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},}$

${\displaystyle \gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a},}$

若 ${\displaystyle \beta =0\,}$，求解 ${\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0\,}$ 並代入 ${\displaystyle x=u-{b \over 4a}}$，求得根

${\displaystyle x=-{b \over 4a}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0}$.

${\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}$

${\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$（平方根任一正負號均可）

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$（有三個複根，任一個均可）

${\displaystyle y={\displaystyle -{5 \over 6}\alpha +{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad },}$

${\displaystyle x=-{b \over 4a}+{\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.}$

兩個${\displaystyle \pm _{s}\,}$ 必須有相同的符號,${\displaystyle \pm _{t}\,}$ 的符號無關。為得到全部的根，對${\displaystyle \pm _{s}\,}$，${\displaystyle \pm _{t}\,}$ ,${\displaystyle =}$,${\displaystyle +\,}$,${\displaystyle +\,}$及 ${\displaystyle +-\,}$ 及 ${\displaystyle -+\,}$ 及 ${\displaystyle --\,}$ 來求${\displaystyle x\,}$。二重根將得出兩次，三重根及四重根將得出四次（儘管有${\displaystyle \beta =0\,}$，是一種特殊的情況）。方程根的次序取決於立方根${\displaystyle U\,}$ 的選取。（見對${\displaystyle \left(8\right)\,}$相對${\displaystyle \left(8^{'}\right)\,}$的注）

此即所求。

還有解四次方程的其他方法，或許更好些。費拉里首先發現這些迷宮般的解之一。他所解的方程是

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0\,}$ ，

它已經化為簡約的形式。它有一對解，可由上面給出的公式得到。

笛卡爾方法

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0\,}$

此四次方程是下列兩個二次方程之積：

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0\qquad \qquad (9)}$

以及

${\displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.\qquad \qquad (10)}$

由於

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

因此

${\displaystyle {\begin{matrix}(x-x_{1})(x-x_{2})&=&x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\qquad \qquad \qquad \quad \\&=&x^{2}-2\,\mathrm {Re} (x_{1})x+[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}.\end{matrix}}}$

設

${\displaystyle a=-2\,\mathrm {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\,}$

則方程${\displaystyle \left(9\right)\,}$ 變為

${\displaystyle x^{2}+ax+b=0.\qquad \qquad (11)}$

同時有(未知的)變量${\displaystyle w\,}$和${\displaystyle v\,}$使方程${\displaystyle \left(10\right)\,}$ 變為

${\displaystyle x^{2}+wx+v=0.\qquad \qquad (12)}$

方程${\displaystyle \left(11\right)\,}$與${\displaystyle \left(12\right)\,}$ 相乘，得

${\displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.\qquad \qquad (13)}$

把方程${\displaystyle \left(13\right)\,}$ 與原來的二次方程比較，可知

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

及

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

因此

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\mathrm {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={E \over A\left([\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\right)}.}$

方程${\displaystyle \left(12\right)\,}$的解為

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

這兩個解中的一個應是所求的實解。

歐拉的方法

寫出式子 ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$，令 ${\displaystyle y=x+a/4}$, 把上式改寫為 ${\displaystyle y^{4}+ey^{2}+fy+g=0}$, 再利用系數 ${\displaystyle e,f,g}$ 造出另一式子: ${\displaystyle z^{3}+(e/2)z^{2}+((e^{2}-4g)/16)z-f^{2}/64=0}$, 求出 ${\displaystyle z}$ 的三根，並用 ${\displaystyle p,q,r}$ 代表它們。 那麼 ${\displaystyle y}$ 的四個根就是 ${\displaystyle +{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}+{\sqrt {r}}}$ ${\displaystyle +{\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}-{\sqrt {r}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}-{\sqrt {r}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}+{\sqrt {r}}}$

合併來看 二次方程根的樣式為 ${\displaystyle j{\sqrt {A}}}$ ,其中 ${\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1}\},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h^{2}=1}$ 三次方程根的樣式為 ${\displaystyle j_{1}{\sqrt[{3}]{A}}+j_{2}{\sqrt[{3}]{B}}}$ ,其中 ${\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1},h^{2}\},\ \ \ \ \ h^{3}=1}$ 四次方程根的樣式為 ${\displaystyle j_{1}{\sqrt[{4}]{A}}+j_{2}{\sqrt[{4}]{B}}+j_{3}{\sqrt[{4}]{C}}}$ ,其中 ${\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1},h^{2},h^{3}\},h^{4}=1}$ 延伸這樣式，暗示了五次方程尋根的方向。

其它方法

化為雙二次方程

一個例子可見雙二次方程。

埃瓦里斯特·伽羅瓦的理論和因式分解

求根公式

四次方程的求根公式可以通過上述的伽羅瓦理論和因式分解得到。^[1]對於${\displaystyle {ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0}}$，有：^[2]

$${\displaystyle {x_{1}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}$$

$${\displaystyle {x_{2}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}-{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}$$

$${\displaystyle {x_{3}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}$$

$${\displaystyle {x_{4}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}}$$

${\displaystyle {\Delta =256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}}}$^{[來源請求]}

PlanetMath指出，這四個形式直接使用，即使是在計算機上也過於複雜。^[2]這四個解的推導過程的最後幾步有較為簡單的中間形式可以採用。得到這些解需要用到三次方程的求根公式。^[1]

參見

• 費拉里
• 卡爾達諾

文獻

1. The Quartic Formula Derivation. [2021-07-14]. （原始內容存檔於2021-07-14）.
   Galois-theoretic derivation of the quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. （原始內容存檔於2021-01-18）.
2. quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. （原始內容存檔於2021-04-11）.

• Ferrari's achievement（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 四次方程的求根公式（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）