內乘

本文介紹外代數中的運算。關於其他常稱作內積的相關二元運算，參見內積。

在數學中，內乘（英語：interior product，或譯內積）是光滑流形上的微分形式外代數上一個次數為 −1 導子，定義為微分形式與一個向量場的縮並。從而如果 X 是流形 M 上一個向量場，那麼

${\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$

是將一個 p-形式 ω 映為 (p−1)-形式 i_Xω，由性質

${\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}$

所定義，對任何向量場 X₁,..., X_p−1。本質上來說，內乘可以定義在向量空間與外代數上，即只與流形的一點有關。

內乘也稱為內乘法（interior 或 inner multiplication），或內導數（inner derivative 或 derivation）。

一些作者使用字母 ${\displaystyle i}$ 代替 ${\displaystyle \iota }$；內乘有時也寫成 ${\displaystyle \iota (X)}$ 或者 ${\displaystyle X\lrcorner \omega =\iota _{X}\omega }$。

性質

由反對稱性

${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega }$

所以 ${\displaystyle \iota _{X}^{2}=0}$。

因為李導數與縮並可以交換，故：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )=\iota _{[X,Y]}\omega +\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ ,}$

這便得出兩個向量李括號的內乘公式：

${\displaystyle \iota _{[X,Y]}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ .}$

內乘與微分形式的外導數以及李導數的關係由嘉當恆等式給出：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (\iota _{X}\omega )+\iota _{X}\mathrm {d} \omega \ .}$

這個等式在辛幾何中非常重要：參見矩映射。

另見

• 張量縮並