單項式

數學上的單項式（英語：Monomial）是指只有一項的多項式。如${\displaystyle x^{2}}$、${\displaystyle x}$都是單項式。

單項式有兩種不同的定義：

1. 單項式，也稱為冪乘積，是各變數自然數冪次的乘積，也可以說是變數之間的乘積，變數可能會重複出現，例如${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$即為單項式。常數${\displaystyle 1}$也是單項式，等於空積，也等於${\displaystyle x^{0}}$，${\displaystyle x}$可以對應任意變數。若只考慮單變數${\displaystyle x}$，則其單項式可能是${\displaystyle 1}$或是${\displaystyle x}$的冪次${\displaystyle x^{n}}$，其中${\displaystyle n}$為正整數。若考慮多個變數，如${\displaystyle x,y,z,}$，每一個變數都可能有其冪次，因此單項式會是${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$，其中${\displaystyle a,b,c}$是非負整數^{[註 1]}。
2. 單項式也可以是上述定義的單項式，乘以一個非零的常數，稱為單項式的系數。第一種定義下的單項式是這種定義當中，系數為${\displaystyle 1}$的特例。例如${\displaystyle -7x^{5}}$和${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$都是單項式（第二例中，變數是${\displaystyle x,y,z,}$，且其系數是複數）。

若在討論洛朗多項式（英語：Laurent polynomial）和洛朗級數時，單項式的冪次可以是負數，若在討論皮瑟級數（英語：Puiseux series）時，冪次可以是有理數。

二種定義的比較

在上述兩種定義中，單項式都是多項式中的子集，且具有乘法封閉性。

在文獻中這兩種定義都有出現，在許多應用中可以忽略這兩種定義之間的差異，這裏有些第一個定義^[1]，以及第二個定義的例子^[2]。在非正式的討論中不太需要區分其差異。一般是傾向使用範圍較廣的第二個定義。不過在研究多項式結構時，一般會需要用到第一個定義。例如在考慮多項式環的單項基函數（英語：monomial basis），或是此一基底的単項式順序（英語：monomial order）。

以下的「單項式」會以上述的第一個定義為準。

單項基函數

主條目：單項基函數

所有的多項式都是單項式的線性組合，因此形成多項式向量空間的基，稱為單項基函數（monomial basis）。

標示

在偏微分方程中常需要標示單項式。若用的變數是像${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ...之類用下標區隔的變數，則可以用多重指標表示，例如

${\displaystyle \alpha =(a,b,c)}$

可以定義

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}}$

以簡化標示。

註釋

1. 其中若指數為${\displaystyle 0}$，對應的冪次乘積會等於1

相關條目

• 單項表示（英語：Monomial representation）
• 單項矩陣（英語：Generalized permutation matrix）
• 齊次多項式
• 齊次函數
• 多重線性形式
• 雙對數坐標系
• 冪定律
• 稀疏多項式（英語：Sparse polynomial）

參考資料

1. Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.
2. Hazewinkel, Michiel (編), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4