哈特格斯數

在數學特別是公理化集合論中，哈特格斯數（Hartogs number）是一類特殊的基數。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年從策梅洛-弗蘭克爾集合論中單獨導出（沒有使用選擇公理），用於證明對任意給定的良序集，至少有一個良序集的基數大於它。

然而，要構造哈特格斯數其實並不需要從良序集出發：對任意集合${\displaystyle X}$，與之對應的哈特格斯數是不與${\displaystyle X}$的任何子集等勢的最小序數${\displaystyle \alpha }$。如果${\displaystyle X}$並非良序的話，我們其實不能說${\displaystyle \alpha }$一定是勢大於${\displaystyle X}$的最小良序集；但是，我們仍然可以確定${\displaystyle \alpha }$的勢至少不小於——或者說大於等於——${\displaystyle X}$的勢。從${\displaystyle X}$到${\displaystyle \alpha }$的映射，被稱作哈特格斯函數（Hartogs's function）。

證明

由集合論的一些基本定理可以很容易證明哈特格斯數的存在：

令

${\displaystyle \alpha =\{\beta \in \mathbf {Ord} |\exists i:\beta \hookrightarrow X\}}$

為所有滿足「存在從該序數${\displaystyle \beta }$到集合${\displaystyle X}$的單射」的序數${\displaystyle \beta }$組成的類。

首先，我們來證明${\displaystyle \alpha }$是集合：

1. 由冪集公理，${\displaystyle X\times X}$是集合。
2. 再由冪集公理，${\displaystyle {\mathcal {P}}(X\times X)}$是集合。（列舉出任意二元關係）
3. 由分離公理，${\displaystyle X}$的所有自反良序子集組成的類${\displaystyle W}$是集合（因為它是從${\displaystyle {\mathcal {P}}(X\times X)}$中分離得到）。（從任意二元關係選出自反良序的二元關係）
4. 由替換公理可知，${\displaystyle W}$中良序集的序類型是集合——該集合正是${\displaystyle \alpha }$。

接下來，由於屬於${\displaystyle \alpha }$的元素皆是傳遞集，而參照傳遞集的定義，其元素為其子集，那麼便形成單射，於是乎便屬於${\displaystyle \alpha }$。因此${\displaystyle \alpha }$是序數。更進一步地，不存在從${\displaystyle \alpha }$到${\displaystyle X}$的單射——否則就會導致${\displaystyle \alpha \in \alpha }$的矛盾（因為${\displaystyle \alpha }$是序數，這也就是說${\displaystyle \alpha <\alpha }$）。最後，${\displaystyle \alpha }$也是滿足這一性質的最小序數，否則，如果有一序數${\displaystyle \beta <\alpha }$，那麼${\displaystyle \beta \in \alpha }$，也就是說${\displaystyle \exists i:\beta \hookrightarrow X}$。

而不存在${\displaystyle \alpha }$到${\displaystyle X}$的單射也就意味着${\displaystyle \alpha }$與${\displaystyle X}$的任意子集都不等勢。

歷史評價

值得一提的是，在1915年，哈特格斯能夠使用的數學工具中既不包括馮·諾伊曼序數也不包括替換公理，因此他的結論是單純建立在策梅洛集合論上的，導致其與現今的闡述有很大的不同。相反地，他當時考慮的是${\displaystyle X}$的良序子集的同構類的集合，以及這一集合上「${\displaystyle A<B}$若且唯若${\displaystyle A}$同構於${\displaystyle B}$的真前段」的關係。哈特格斯證明了存在一個良序集大於${\displaystyle X}$的任意良序子集。（這是歷史上第一次真正構造出不可數良序集。）然而，他的真正目的其實是證明基數三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（進一步則等價於選擇公理）。

參見

• 後繼基數（Successor cardinal）
• 阿列夫數

參考文獻

• Hartogs number. [2019-05-20]. （原始內容存檔於2017-02-01）.
• 郝兆寬 楊躍. 集合论：对无穷概念的探索. 復旦大學出版社. 2015-09. ISBN 9787309107104 （中文）. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)