可作圖多邊形

在數學中，可作圖多邊形是可以用尺規作圖的方式作出的正多邊形。例如，正五邊形可以只使用圓規和直尺作出，而正七邊形卻不可以。

正五邊形的作圖

可作圖的條件

一些正多邊形很容易地用圓規和直尺作出，而另一些卻不行。於是便提出了一個問題：是否所有的正 n 邊形，都可以用圓規和直尺作出？若不能，哪些正 n 邊形可以，哪些不可以？

德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯在1796年證明了作出正十七邊形的可能性。五年後，他在他的《算術研究》一書中提出了高斯週期（英語：Gaussian period）理論，這一理論可推導出一個正 n 邊形是可作圖多邊形的充分條件：

如果 n 是 2 的 k 次方和任意個（可為 0 個）相異費馬質數的乘積，那麼這個正 n 邊形可以用圓規和直尺作出。

高斯認為這個條件也是必要條件，但是他一直沒有發表他的證明。1837 年，Pierre Wantzel（英語：Pierre Wantzel） 給出了一份完整的必要性的證明，因此這個定理被叫做 Gauss–Wantzel 定理。

詳細結論

已知的費馬數中只有前五個是質數：

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257,和F₄ = 65537 （OEIS數列A019434）

接下來的二十八個費馬數，從F₅到F₃₂，已證實都是合數。^[1]

因此正n邊形如果

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51（德語：51-Eck）, 60, 64, ... （OEIS數列A003401）

則可以用圓規和直尺作出，如果

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25（法語：Pentaicosagone）, 26（英語：Icosihexagon）, 27（法語：Heptaicosagone）, 28（英語：Icosioctagon）, 29（法語：Ennéaicosagone）, 31（法語：Hentriacontagone）, 33（法語：Tritriacontagone）, 35（法語：Pentatriacontagone）, 36, ... （OEIS數列A004169）

則不能。

與楊輝三角的聯繫

相異費馬質數的乘積，3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ..., 65535, 65537, ..., 4294967295 （OEIS數列A004729），相對應的31個奇數邊正多邊形均為可作圖多邊形。約翰·何頓·康威（英語：John Horton Conway）在《The Book of Numbers》中評論，當把這31個數寫成二進制時，正好等於楊輝三角前32行的模2同餘，拋去第一行。但這種模式在第33行之後就不成立了，因為第6個費馬數是合數，所以剩下的那些行就不符合條件了。目前還不知道是否存在更多的費馬質數，因而就不知道有多少個奇數邊可作圖多邊形。一般的，如果有x個費馬質數，就有${\displaystyle 2^{x}-1}$個奇數邊可作圖多邊形。

普遍理論

根據伽羅瓦理論（英語：Galois theory），這些證明的原理已經變得十分清晰。它直接展示了解析幾何中可做圖長度必須用基礎長度通過解一系列二次方程得到。在體論中，這樣的長度一定包含在由一系列二次擴張生成的擴張體中。由此可見，這樣的域的度數相對基體而言總是${\displaystyle 2^{n}}$。

在特定的情況下，作出正n邊形的問題轉變為作出長度

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}}$。

這個實數就在n次分圓體之中——事實上它的實子體就是一個全實域，是一個有理的維度為

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\phi (n)}$

的向量空間，其中${\displaystyle \phi (n)}$是歐拉函數。Wantzel的計算結果表明當${\displaystyle \phi (n)}$可以寫成2的幾次冪的時候正是這種特殊情況。

尺規作圖

正十七邊形的作圖

可作圖多邊形的作圖方法都是已知的。如果${\displaystyle n=pq}$（p和q互質）：

• 當${\displaystyle p=2}$時，先作一個q邊形，再作出任意一個中心角的角平分線，這樣就可以作出一個2q邊形了。
• 當${\displaystyle p>2}$時，在同一個圓中作出一個p邊形和一個q邊形，這兩個多邊形要有公共頂點。因為p和q是互質的，所以一定存在整數a和b使得${\displaystyle ap+bq=1}$，於是${\displaystyle {\frac {2a\pi }{q}}+{\frac {2b\pi }{p}}={\frac {2\pi }{pq}}}$。這樣就可以作出一個pq邊形了。

因而唯一需要做的就是找到正n邊形（n為費馬質數）的作圖方法。

• 正三角形的作圖方法很簡單，早在古代就已知了。參見正三角形。
• 正五邊形的作圖方法在歐幾里德（古希臘語：Εὐκλείδης）的《幾何原本》（古希臘語：Στοιχεῖα，公元前300年）和托勒密（古希臘語：Κλαύδιος Πτολεμαῖος）的《天文學大成》（古希臘語：Μαθηματικἠ Σύνταξις，公元前150年）中都已有描述。參見正五邊形。
• 儘管高斯證明了正十七邊形可以用圓規和直尺作出，但他並沒有直接給出作圖的方法。第一個作圖方法是由Erchinger在幾年之後給出的。參見正十七邊形。
• 第一個明確的正257邊形的作圖方法是由Friedrich Julius Richelot（1832）給出的。^[2]參見正257邊形。
• 第一個給出正65537邊形的作圖方法的人是約翰·古斯塔夫·愛馬仕（1894），作圖極其麻煩，Hermes花費了十年時間填滿了200多頁的手稿。^[3]（但是，康威對Hermes的作圖方法的有效性表示懷疑。^[4]）參見正65537邊形。

其他作圖

參見：皮爾龐特質數和二刻尺作圖 § 特定正多邊形

應該強調的是本文中討論的作圖專指尺規作圖。如果允許使用其他的工具，作出更多的正n邊形也是可能的。例如，所謂的二刻尺，就是有兩個刻度的直尺。用二刻尺作圖可以作出正三角形一直到正二十二邊形，儘管剩下許多多邊形仍然無法作出。

當n等於${\displaystyle 2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},}$，其中r, s, k ≥ 0且p_i是大於三的皮爾龐特質數（符合${\displaystyle 2^{t}3^{u}+1}$形式的質數，此時t和u是正整數），正n邊形可以由直尺、圓規以及三等份角作出：^{[5]:Thm. 2}

參見

• 多邊形

參考來源

1. （英文） 費馬數的分解 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
2. Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1832, 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358 （拉丁語）.
3. Johann Gustav Hermes. Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (Göttingen). 1894, 3: 170–186 （德語）.
4. 存档副本. [2011-07-21]. （原始內容存檔於2019-05-14）.
5. Gleason, Andrew Mattei. Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon (PDF). The American Mathematical Monthly. March 1988, 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. （原始內容 (PDF)存檔於2015-12-19）.