協態方程

協態方程（costate equation）和最優控制中用到的狀態方程有關^[1][2]，也稱為輔助方程、伴隨方程、影響方程或是乘數方程。協態方程是向量一階常微分方程

${\displaystyle {\dot {\lambda }}^{\mathsf {T}}(t)=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}$

其中等式的右邊為哈密頓量（${\displaystyle H}$）對狀態變數偏導數的負值。

解釋

協態變數${\displaystyle \lambda (t)}$可以解釋為狀態方程相關的拉格朗日乘數。狀態方程表示最小化問題中的限制條件，協態變數則是違反這些條件的邊際成本，在經濟學中協態變數即為影子價格^[3]。

求解

狀態方程和初始條件有關，會從起始時間開始，往後求解。協態方程和邊界條件有關，需從最終時間開始，往前求解。進一步的細節可參考龐特里亞金最小化原理^[4]。

相關條目

• 伴隨方程（英語：Adjoint equation）
• 伴隨向量映射原理
• 拉格朗日乘數

參考資料

1. Kamien, Morton I.; Schwartz, Nancy L. Dynamic Optimization Second. London: North-Holland. 1991: 126–27. ISBN 0-444-01609-0.
2. Luenberger, David G. Optimization by Vector Space Methods. New York: John Wiley & Sons. 1969: 263.
3. Takayama, Akira. Mathematical Economics. Cambridge University Press. 1985: 621.
4. Ross, I. M.（英語：I. Michael Ross） A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.