協態方程

協態方程（costate equation）和最優控制中用到的狀態方程有關^[1][2]，也稱為輔助方程、伴隨方程、影響方程或是乘數方程。協態方程是向量一階常微分方程

${\displaystyle {\dot {\lambda }}^{\mathsf {T}}(t)=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}$

其中等式的右邊為哈密頓量（${\displaystyle H}$）對狀態變數偏導數的負值。

解釋

協態變數${\displaystyle \lambda (t)}$可以解釋為狀態方程相關的拉格朗日乘數。狀態方程表示最小化問題中的限制條件，協態變數則是違反這些條件的邊際成本，在經濟學中協態變數即為影子價格^[3]。

求解

狀態方程和初始條件有關，會從起始時間開始，往後求解。協態方程和邊界條件有關，需從最終時間開始，往前求解。進一步的細節可參考龐特里亞金最小化原理^[4]。

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