畢氏三元數

畢氏三元數，又名商高數或勾股數（Pythagorean triple），是由三個正整數組成的數組；能符合畢氏定理（畢式定理）「${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$」之中，${\displaystyle (a,b,c)}$的正整數解。而且，基於畢氏定理的逆定理，任何邊長是畢氏三元數組的三角形都是直角三角形。

如果${\displaystyle (a,b,c)}$是畢氏三元數，它們的正整數倍數，也是畢氏三元數，即${\displaystyle (na,nb,nc)}$也是畢氏三元數。若果${\displaystyle (a,b,c)}$三者互質（它們的最大公因數是 1），它們就稱為素畢氏三元數或本原畢氏三元數組。

找出素畢氏三元數

以下的方法可用來找出素畢氏三元數。設${\displaystyle m>n}$、${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$均是正整數，

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$

${\displaystyle b=2mn}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$是互質，而且${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$為一奇一偶，計算出來的${\displaystyle (a,b,c)}$就是素畢氏三元數。（若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$都是奇數，${\displaystyle (a,b,c)}$就會全是偶數，不符合互質。）

所有素畢氏三元數可用上述列式當中找出，這亦可推論到數學上存在無窮多的素畢氏三元數。

例子

以下是小於 100 的素畢氏三元數：

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

有些畢氏三元數組可以有同一個最小的畢氏三元數。第一個例子是 20 ，它在以下兩組畢氏三元數之中出現：${\displaystyle (20,21,29)}$與${\displaystyle (20,99,101)}$。

其中最先例子是5，它在以下兩組畢氏三元數之中出現${\displaystyle (3,4,5)}$及${\displaystyle (5,12,13)}$。

在 15,386 組素畢氏三元數的 1229779565176982820 ，它的最小與最大的畢氏三元數組是：

${\displaystyle 1229779565176982820}$

${\displaystyle 1230126649417435981}$

${\displaystyle 1739416382736996181}$

與

${\displaystyle 1229779565176982820}$

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}$

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}$

試考慮它的質因數分解

${\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}$

它質因數的個數涉及不少素畢氏三元數。當然，數學上存在比它大的素畢氏三元數。

性質

對於本原畢氏三元數組${\displaystyle (a,b,c)}$，${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$，我們有

• ${\displaystyle a,b,c}$兩兩互質
• ${\displaystyle a,b}$其中一個是3的倍數
• ${\displaystyle a,b}$其中一個是4的倍數
• ${\displaystyle a,b,c}$其中一個是5的倍數

對於第二、三、四條性質的證明：

利用完全平方數${\displaystyle \equiv 0,1{\pmod {3}}}$ 若${\displaystyle a,b}$都不是3的倍數，則${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}$，導致${\displaystyle c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}$ 矛盾，所以${\displaystyle a,b}$一定有且只有一個數是3的倍數。

因為${\displaystyle (a,b,c)}$是本原畢氏三元數組，所以必有${\displaystyle a,b}$一奇一偶。不妨設${\displaystyle a}$為奇數，${\displaystyle b}$為偶數，這時候對${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$兩邊同時${\displaystyle {\bmod {8}}}$，則會得到${\displaystyle b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}}$，故${\displaystyle 4\mid b}$，所以${\displaystyle a,b}$一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數${\displaystyle \equiv 0,1,4{\pmod {5}}}$ 若${\displaystyle a,b,c}$都不是5的倍數，則${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 0}$或${\displaystyle 2}$或${\displaystyle 3{\pmod {5}}}$，而${\displaystyle c^{2}\equiv 1}$ 或${\displaystyle 4{\pmod {5}}}$，矛盾，所以${\displaystyle a,b,c}$一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

找尋畢氏三元數的小技巧

若需要一組最小數為奇數的畢氏三元數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組畢氏三元數^[1]。但卻不一定是以這個選取數字為起首畢氏三元數的最小可能或唯一可能，例如${\displaystyle (27,364,365)}$並非是以 27 為起首的唯一畢氏三元數，因為存在另一個畢氏三元數是${\displaystyle (27,36,45)}$，同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數${\displaystyle x}$，${\displaystyle x^{2}+1}$、${\displaystyle x^{2}-1}$與${\displaystyle 2x}$，三個數必為畢氏三元數^[1]，例如：代入${\displaystyle x}$為2，則${\displaystyle x^{2}+1}$為5，${\displaystyle x^{2}-1}$為3，${\displaystyle 2x}$為4，${\displaystyle (3,4,5)}$為一組畢氏三元數。

推廣

費馬最後定理指出，若${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$，而${\displaystyle n}$是大於 2 的整數，${\displaystyle (a,b,c)}$即沒有正整數解。

參見

• 畢氏定理
• 費馬最後定理
• 特殊直角三角形#常見的畢氏三元數

外部連結

• 談費瑪最後定理第 2 頁
• 畢氏定理
• Javascript 計算器，用以計算 (${\displaystyle m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}}$) 公式，以及如何推論此公式。
• 120 三元數組 (doc)

1. 宋蕙君; 陳柏揚; 謝明君. 〈哇!這是什麼 5，4，3 啊!〉 (PDF). 桃園縣立大竹國民中學. 中華民國第四十八屆中小學科學展覽會. 2008年. （原始內容 (PDF)存檔於2022-10-12）.