加權射影空間

代數幾何中，加權射影空間${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ \ldots ,\ a_{n})}$是與分次環${\displaystyle k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}]}$相關聯的射影簇${\displaystyle {\rm {Proj}}(k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}])}$，其中簇x_k的度為a_k。

性質

• 有正整數d，則${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a-n)}$與${\displaystyle \mathbf {P} (da_{0},\ da_{1},\ \ldots ,\ da_{n})}$同構。這是所謂射影結構的性質；從幾何學角度看，它對應於d元委羅內塞嵌入。因此，在不失一般性的前提下，可以假設${\displaystyle a_{i}}$的度數沒有公因子。

• 假設${\displaystyle a-0,\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}}$沒有公因子，且d是所有${\displaystyle i\neq j}$的${\displaystyle a_{i}}$的公因子，則${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})}$與${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0}/d,\ldots ,\ a_{j-1}/d,\ a_{j},\ a_{j+1}/d,\ldots ,\ a_{n}/d)}$同構（其中d與${\displaystyle a_{j}}$互質；否則同構不成立）。因此可以進一步假設，任何由n個變量組成的集合${\displaystyle a_{i}}$都沒有公因子。稱這樣的加權射影空間「結構良好」（well-formed）。
• 加權射影空間位移的奇異點是循環商奇異點。
• 加權射影空間是Q法諾簇^[1]，也是環面簇。
• 加權射影空間${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})}$與射影空間對對角作用的${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}}$階的單位之根的積群的商同構。^[2]

參考文獻

1. M. Rossi and L. Terracini, Linear algebra and toric data of weighted projective spaces. Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino 70 (2012), no. 4, 469--495, proposition 8
2. This should be understood as a GIT quotient. In a more general setting, one can speak of a weighted projective stack. See https://mathoverflow.net/questions/136888/.

• Dolgachev, Igor, Weighted projective varieties, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math. 956, Berlin: Springer: 34–71, 1982, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , ISBN 978-3-540-11946-3, MR 0704986, doi:10.1007/BFb0101508
• Hosgood, Timothy, An introduction to varieties in weighted projective space, 2016, Bibcode:2016arXiv160402441H, arXiv:1604.02441 
• Reid, Miles, Graded rings and varieties in weighted projective space (PDF), 2002 [2023-11-27], （原始內容存檔 (PDF)於2023-06-02）