力迫

在數學學科集合論中，力迫是保羅·寇恩（Paul J. Cohen）發明的一種技術^[1]，用來證明與策梅洛-弗蘭克爾公理有關的一致性和獨立性結果。它在1962年首次被用來證明連續統假設和選擇公理對策梅洛-弗蘭克爾集合論的獨立性。實際上在寇恩正式引入力迫法前，它已經被廣泛地應用於遞歸論中。寇恩的力迫法最初是建立在分歧分層（ramified hierarchy）上，難於理解。1960年代通過梭羅維（英語：Robert M. Solovay）（Solovay）與斯科特（Scott）等人的努力力迫法被相當程度的重做和簡化。

簡介

力迫法大致是一種擴張模型的方法。給定一個模型${\displaystyle M}$以及模型內一個偏序${\displaystyle (P,\leq )}$，通過構造通集（generic）${\displaystyle G\subseteq P}$來實現模型的擴張。因為通集不在${\displaystyle M}$內，所以這是一個真正的擴張。記為${\displaystyle M[G]}$。它有以下性質：

1. 對於${\displaystyle M[G]}$中所有元素${\displaystyle x}$，都可以在${\displaystyle M}$中找到一個對應的元素${\displaystyle {\dot {x}}}$，即所謂的名（name）。
2. 存在一個${\displaystyle M}$可定義的關係成為力迫(${\displaystyle \Vdash }$)使得對於任何一個命題${\displaystyle \varphi (x)}$，${\displaystyle M[G]}$滿足${\displaystyle \varphi (x)}$若且唯若存在${\displaystyle p\in G}$使得${\displaystyle p\Vdash \varphi ({\dot {x}})}$。即${\displaystyle M[G]}$中的滿足關係是可以在${\displaystyle M}$中定義的即使這種定義具有非常強的非一致性（它嚴重地依賴參數p）。

2是非常重要的一條性質。它說明力迫法對於模型的擴張是「非常小的」。擴張的模型牢牢地被原來的模型控制住，使得我們能夠通過原來的模型獲得擴張模型的大量的信息。在數學技巧上例如它使得我們能夠對擴張模型的基數是否仍然保持住做強有力推斷。

梭羅維後來對力迫法進行了非常深入地研究。他（與Tennenbaum）引入了迭代力迫並用有限支撐迭代力迫證明了蘇斯林問題。勒維（Laver）引入可數支撐迭代力迫證明了波雷爾猜想（Borel's conjecture），從而導致了正常力迫（proper forcing）的引入。現在力迫法已經成為集合論中不可缺少的工具。而且通過烏丁（Woodin）等人的工作，力迫的意義也遠遠不僅是集合論的一項工具。

參考資料

1. 裘光明 等. 数学辞海 第一卷. 山西教育出版社. 2002: 639. ISBN 9787544023993.