分支過程

在概率論中，分支過程（英語：Branching Process）屬於隨機過程的一類，由一系列隨機變量組成。分支過程的最初目的是建立一個數學模型，研究第n代個體產生隨機個後代時的個體數模型。最簡單的情況是每個個體產生的後代數目遵循相同的隨機分佈。^[1]

數學表述

分支過程最常見的表述是高爾頓－沃森過程（英語：Galton–Watson process）。記Z_n為第n代的狀態，隨機變量X_n,i表示第n代中第i個個體產生的直系後代數。對一切n ∈{ 0, 1, 2, ...}，X_n,i是獨立同分佈的。於是可得遞推關係式

${\displaystyle Z_{n+1}=\sum _{i=1}^{Z_{n}}X_{n,i}}$

其中Z₀ = 1。

另外，分支過程也可表述為隨機遊走。記S_i為第i代的狀態，隨機變量X_i對一切i都是獨立同分佈的，則遞推關係式為

${\displaystyle S_{i+1}=S_{i}+X_{i+1}-1=\sum _{j=1}^{i+1}X_{j}-i}$

其中S₀ = 1。要想從直觀上理解上式，可以設想一次隨機遊走的目的是訪問到所有節點。令S_i為第i期已發現但未訪問的節點數，X_i為第i個節點得到訪問時已發現的節點數。於是在每一期中，已發現但未訪問的節點數等於上一期已發現但未訪問的節點數加上訪問新節點時發現的節點數，再減掉剛訪問的節點。當所有節點都訪問過時，整個過程停止。

參見

• 隨機樹
• 鞅 (概率論)

參考文獻

1. Athreya, K. B. Branching Process. Encyclopedia of Environmetrics. 2006. ISBN 0471899976. doi:10.1002/9780470057339.vab032.