全集

數學上，特別是在集合論和數學基礎的應用中，全類（Universe，若是集合，則稱作全集）是一個（在某種程度上）包含了所有的研究物件和集合的類。

全集與餘集的關係，以文氏圖表示。

在特定場合下

這個一般概念有數個精確的版本。最簡單的情況下可以將任意集合${\displaystyle U}$定義成全集，只要研究的對象都是其子集。若研究實數，則所有實數的集合實數線${\displaystyle \mathbb {R} }$就是全集。在1870年代和1880年代，康托爾第一次發展現代樸素集合論和勢的概念以應用於實分析，這時他默認地使用着的全集就是實數線${\displaystyle \mathbb {R} }$。康托爾一開始關心的也只是${\displaystyle \mathbb {R} }$的子集。

這種全集概念在文氏圖的應用中有所反映。在文氏圖中，所有的操作按例都是在一個表示全集${\displaystyle U}$的大長方形內進行。集合通常表示為圓形，但這些集合只能是${\displaystyle U}$的子集。集合${\displaystyle A}$的補集則為長方形中表示${\displaystyle A}$的圓形的外面的部分。嚴格地說，這是${\displaystyle A}$對${\displaystyle U}$的相對補集'${\displaystyle U\backslash A}$；但在${\displaystyle U}$是全集的場合下，這可以被當成是${\displaystyle A}$的絕對補集'${\displaystyle A^{C}}$。同樣的，有一個稱為空交集的概念，即零個集合的交集（指沒有集合，而不是空集）。要是沒有全集，空交集就會是所有東西組成的集合，這一般被認為是不可能的；但有了全集，空交集可以被當成是有條件（即${\displaystyle U}$）下的所有東西組成的集合。

在基於布林格的代數方法研究基礎集合理論時，這種慣例非常有用。但對公理化集合論的一些非標準形式並非如此，例如新基礎集合論，這裏所有集合的類並不是布林格，而僅僅是相對有補格。相反，${\displaystyle U}$的冪集，即${\displaystyle U}$的所有子集組成的集合，是一個布林格。上述的絕對補集是布林格中的補運算；而空交集${\displaystyle U}$則作為布林格中的最大元（或空交）。這裏，適用於補運算、交運算和並運算（集合論中的併集）的德·摩根律成立，而且對空交和空並（即空集）也成立。

在一般數學中

然而，當考慮過給定集合${\displaystyle X}$的子集（在康托爾的例子中，${\displaystyle X=\mathbb {R} }$），可能就會進一步關心${\displaystyle X}$的子集組成的集合。 （例如：${\displaystyle X}$上的一個拓撲就是一個${\displaystyle X}$的子集組成的集合。） 這些不同的${\displaystyle X}$的子集組成的集合本身，一般而言並不是${\displaystyle X}$的子集，卻是${\displaystyle X}$的冪集${\displaystyle \mathbf {P} X}$的子集。當然，這還沒有完；可以進一步考慮${\displaystyle X}$的子集組成的集合所組成的集合，等等。另一個方向是：可以考慮笛卡爾積${\displaystyle X\times X}$，或從${\displaystyle X}$映射到其自身的函數。接着，還可以考慮笛卡爾積上的函數，或從${\displaystyle X}$映射到${\displaystyle X\times \mathrm {P} X}$的函數，等等。

這樣，儘管主要關心的是${\displaystyle X}$，仍然需要一個比${\displaystyle X}$大很多的全集。順着上面的思路，可能需要${\displaystyle X}$上的超結構。這可以通過結構遞歸來定義，如下：

• 設${\displaystyle \mathbf {S} _{0}X}$為${\displaystyle X}$自身。
• 設${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$為${\displaystyle X}$和${\displaystyle \mathbf {P} X}$的併集。
• 設${\displaystyle \mathbf {S} _{2}X}$為${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$和${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {S} _{1}X)}$的併集。
• 一般的，設${\displaystyle \mathbf {S} _{n+1}X}$為${\displaystyle \mathbf {S} _{n}X}$和${\displaystyle \mathbf {P} (S_{n}X)}$的併集。則${\displaystyle X}$上的超結構，寫作${\displaystyle \mathbf {S} X}$，為${\displaystyle \mathbf {S} _{0}X}$，${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$，${\displaystyle \mathbf {S} _{2}X}$，等等，的併集；或

${\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}$

注意到，無論初始集合${\displaystyle X}$如何，空集總是屬於${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$。重定義空集為馮·諾伊曼序數${\displaystyle [0]}$。則${\displaystyle \{[0]\}}$，是僅含有空集為元素的集合，屬於${\displaystyle \mathbf {S} _{2}X}$；定義為馮·諾伊曼序數${\displaystyle [1]}$。類似的，${\displaystyle \{[1]\}}$屬於${\displaystyle \mathbf {S} _{3}X}$，則${\displaystyle \{[0]\}}$和${\displaystyle \{[1]\}}$的併集${\displaystyle \{[0],[1]\}}$也屬於該集合；定義為馮·諾伊曼序數${\displaystyle [2]}$。重複這個過程，所有的自然數都通過其馮·諾伊曼序數在超結構中表現出來。然後，若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$屬於這個超結構，則${\displaystyle \{\{x\},\{x,y\}\}}$（這個集合表示了有序對${\displaystyle (x,y)}$）也屬於它。從而，這個超結構將包含各種所想要的笛卡爾積。而且，這個超結構也包含各種函數和關係，因為他們可以被表示為笛卡爾積的子集。以及，還能夠得到有序 n元組，表示定義域為馮·諾伊曼序數${\displaystyle [n]}$的函數。等等。

所以，就算僅從${\displaystyle X=\{\}}$出發，也可以構造大量的用於數學研究的集合，它們都是在{}上的超結構裏的某個元素。但是，這樣${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$的每個元素都會是有限集合。每個自然數都屬於${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$，但「所有」自然數的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$不屬於${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$（儘管它是${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$的「子集」）。實際上，${\displaystyle X}$上的超結構包含了所有的遺傳有限集合。這樣，它可以被認為是「有限主義數學的全集」。可以想像一下，假若19世紀的有限主義者利奧波德·克羅內克當時能使用到這個全集的話；他會相信每個自然數都存在，而集合${\displaystyle \mathbb {N} }$（一個"完全的無窮大"）則不然。

然而，對一般的數學家（它們不是有限主義者）來說，${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$是不足夠的，因為儘管${\displaystyle \mathbb {N} }$是${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$的子集，但${\displaystyle \mathbb {N} }$的冪集仍然不是。特別的，任意的實數集合都不是。所以，需要重新開始這個過程，來構造${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {S} \{\})}$。不過，為簡單起見，就只用給出的自然數集合${\displaystyle \mathbb {N} }$來構造${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$，即${\displaystyle \mathbb {N} }$上的超結構。這通常被認為是「一般數學的全集」。其意思是指，一般研究的所有數學物件，都已作為這個全集的元素而包含其中。例如：任何通常的實數的構造方式（比如通過戴德金分割）都會屬於${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$。即使是非標準分析，也能夠在自然數的一個非標準模型上的超結構中進行。

應當注意，這個部分在觀念上有些改變，這裏全集是任何被關心的集合${\displaystyle U}$。上個部分中，被研究的集合是全集的子集；而現在，它們是全集的元素。這樣儘管${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {S} X)}$是一個布林格，但相應的${\displaystyle \mathbf {S} X}$不是。因此，幾乎不直接採用布林格和文氏圖來描述這種超結構式的全集；在上個部分中，它們被用來描述冪集式的全集。作為替代，可以採用獨立的布林格${\displaystyle \mathbf {P} A}$，這裏${\displaystyle A}$是${\displaystyle \mathbf {S} X}$中任意相應的集合；則${\displaystyle \mathbf {P} A}$是${\displaystyle \mathbf {S} X}$的子集（實際上它屬於${\displaystyle \mathbf {S} X}$）。

在集合論中

正式來說，可以給出一個精確定義，來說明為何${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$為一般數學的全集；這是策梅洛集合論的模型。策梅洛集合論是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合論。策梅洛集合論的成功完全在於它能夠公理化"一般"數學，完成了康托爾在三十年之前開始的課題。但策梅洛集合論對進一步發展公理集合論和數學基礎中的其他工作，特別是模型論，是不夠的。舉一個戲劇性的例子：上述超結構的描述並不能獨立地在策梅洛集合論中完成！ 最後一步，構造${\displaystyle \mathbf {S} }$成為一個無限併集，需要代換公理；這條公理在1922年被加入策梅洛集合論，成為如今通用的策梅洛-弗蘭克爾集合論。所以，儘管一般數學可以在${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$中進行，對${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$的討論則不再"一般"，而是轉向元數學的領域。

但是，若在超級的集合論中，可以發現上述的超結構過程只是超限歸納法的開始。回到${\displaystyle X=\{\}}$（空集），並用（標準的）符號${\displaystyle V_{i}}$表示${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\{\}}$。則有${\displaystyle V_{0}=\{\}}$，${\displaystyle V_{1}=\mathbf {P} \{\}}$，等等，和前面一樣。但是，所謂"超結構"現在只是這個列中的下一項：${\displaystyle V_{\omega }}$，這裏${\displaystyle \omega }$為第一個無窮序數。按照序數知識，得到：

${\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}$

可以對任意序數${\displaystyle i}$定義${\displaystyle V_{i}}$。所有${\displaystyle V_{i}}$的併集為馮·諾伊曼全集${\displaystyle V}$：

${\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!}$。注意，每個單獨的${\displaystyle V_{i}}$都是集合，但他們的併集${\displaystyle V}$是一個真類。跟代換公理差不多時候加入ZF系統的正則公理斷言，每個集合都屬於${\displaystyle V}$。

參見

• 自由物件

參考書目

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Universe, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韋斯坦因. Universal Set. MathWorld.