內射分解

在同調代數中，一個阿貝爾範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的對象 ${\displaystyle A}$ 之內射分解定義為一正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow I^{0}\longrightarrow \cdots \longrightarrow I^{n}\longrightarrow I^{n+1}\longrightarrow \cdots }$

或簡寫成 ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I^{\bullet }}$，使得其中每個 ${\displaystyle I^{n}}$ 皆為內射對象。固定對象 ${\displaystyle A}$，則任兩個內射分解至多差一個鏈複形的同倫等價。

若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的每個對象都有內射分解，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 有充足的內射元，這類範疇上能以內射分解開展同調代數的研究。典型例子包括：

• 環 ${\displaystyle R}$ 上的 ${\displaystyle R}$-模構成之範疇 ${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$。
• 取值在有充足內射元的阿貝爾範疇的層，這時內射分解是層上同調的理論基石。

與此對偶的概念是射影分解。