充分必要條件

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充分必要條件，簡稱充要條件，是邏輯學中用於描述兩個陳述之間的條件關係或包含關係的術語。

處於紫色區域是處於A區域的充分條件，但並非必要條件；處於A區域是處於紫色區域的必要條件，但並非充分條件；處於A和B區域是處於紫色區域的充分必要條件。

在邏輯學中：

• 當命題「若P則Q」為真時，P稱為Q的充分條件，Q稱為P的必要條件。

因此：

• 當命題「若P則Q」與「若Q則P」皆為真時，P是Q的充分必要條件，同時，Q也是P的充分必要條件。
• 當命題「若P則Q」為真，而「若Q則P」為假時，我們稱P是Q的充分不必要條件，Q是P的必要不充分條件，反之亦然。

必要條件

P是Q的必要條件，代表「如果P是假，則Q是假」。

以邏輯符號表示：

${\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q}$

通過否定後件，得出「如果Q是真，則P是真」。

${\displaystyle Q\rightarrow P}$

• 例子1：對於大於2的整數，奇數是成為質數的必要條件。如果一個整數大於2且是質數，它必定是奇數。
• 例子2：年滿30歲是成為美國參議員的必要條件。如果他是參議員，他必定年滿30歲。

充分條件

P是Q的充分條件，代表「如果P是真，則Q是真」或「如果Q是假，則P是假」。

以邏輯符號表示：

${\displaystyle P\rightarrow Q}$

• 例子1：一個數字能被4整除，是成為偶數的充分（但不必要）條件。能被2整除，則是充分及必要條件。

必要條件及充分條件

P是Q的充分及必要條件，代表「當且僅當P是真，則Q是真」。

以邏輯符號表示：

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

留意 ${\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q}$ 可以推出 ${\displaystyle Q\rightarrow P}$。

${\displaystyle (\lnot P\rightarrow \lnot Q)\land (P\rightarrow Q)}$

${\displaystyle (Q\rightarrow P)\land (P\rightarrow Q)}$

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

舉例

1.若P表「人類生存」，Q表「人類呼吸」

${\displaystyle \lnot Q\rightarrow \lnot P}$

${\displaystyle P\rightarrow Q}$

此時呼吸是生存的必要條件，生存是呼吸的充分條件，因為活着的人一定要呼吸，

${\displaystyle Q\rightarrow P}$（錯誤）

然而呼吸並非生存的充分條件，生存並非呼吸的必要條件，因為只會呼吸並不足以讓人生存下去，

故P為Q的充分不必要條件，Q是P的必要不充分條件。

2.若P表「三角形三邊長相等」，Q表「三角形三內角相等」

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

此時這2個條件互為「充分（且）必要條件」。^[1]

3.若P表「正整數x是完全平方數」，Q表「正整數x的正因數個數是奇數」

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

此時這2個條件互為「充分（且）必要條件」。

參考文獻

1. 充分條件Sufficient Condition. 國家教育研究院. 新北市三峽區: 中華民國教育部. [2014-06-19]. （原始內容存檔於2021-06-06）.

參見

前件 後件 實質條件 當且僅當

有效論證 肯定前件 否定後件

無效論證 否定前件 肯定後件 謬誤

外部鏈接

• 西門菲莎大學：概念實例 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）