偽內切圓

幾何學中，三角形的偽內切圓^[1]是內切於三角形兩條邊和其外接圓的一個圓。與頂點${\displaystyle A}$的兩條邊相切的偽內切圓稱為「關於點${\displaystyle A}$的偽內切圓」、「${\displaystyle A}$所對的偽內切圓」或「${\displaystyle A}$-偽內切圓」。

三角形${\displaystyle ABC}$內關於頂點${\displaystyle A}$的偽內切圓

關於三角形的每個頂點都有唯一的偽內切圓。

存在性及唯一性的證明

關於點${\displaystyle A}$的旁切圓是唯一的。

定義${\displaystyle \Phi }$為以下兩個幾何變換的複合：先以${\displaystyle A}$點為圓心，${\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}}$為半徑作反演變換；再關於角${\displaystyle A}$的平分線作對稱變換。由於反演變換和對稱變換都為雙射且變換前後保留交點的性質，${\displaystyle \Phi }$也有對應的性質。

${\displaystyle A}$點的旁切圓經${\displaystyle \Phi }$變換後的圖像為內切於${\displaystyle AB}$、${\displaystyle AC}$，以及${\displaystyle ABC}$外接圓的一個圓，即關於點${\displaystyle A}$的偽內切圓。因此關於點${\displaystyle A}$的偽內切圓唯一確定。類似地，關於點${\displaystyle B}$及點${\displaystyle C}$的偽切圓也唯一確定。^[2]

其他性質

半徑

以下公式說明了三角形內切圓半徑 ${\displaystyle r}$ 和${\displaystyle A}$-偽內切圓半徑 ${\displaystyle \rho _{A}}$ 的關係： $${\displaystyle r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}$$ 其中 ${\displaystyle \alpha }$ 是角${\displaystyle A}$的大小^[3]。

與偽內切圓在三角形邊上的切點有關的性質

三角形內心${\displaystyle I}$為偽內切圓與三角形其中兩邊的切點${\displaystyle D}$和${\displaystyle E}$組成線段的中點^[4]。

${\displaystyle T_{A}D}$和${\displaystyle T_{A}E}$與圓${\displaystyle (ABC)}$除${\displaystyle T_{A}}$的交點分別為弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$和${\displaystyle {\overset {\frown }{AC}}}$的中點^[4]。

跟偽內切圓與三角形外接圓切點有關的圓

${\displaystyle T_{A}BDI}$ 和 ${\displaystyle T_{A}CEI}$ 為圓內接四邊形^[4]。

${\displaystyle T_{A}I}$與圓${\displaystyle (ABC)}$除${\displaystyle T_{A}}$的交點為弧${\displaystyle {\overset {\frown }{BAC}}}$的中點^[4]。

參考資料

1. 潘成華; 田開斌; 褚小光. 与曼海姆定理有关的一类几何问题. 中等數學. 2017, (4): 2–6. ISSN 1005-6416. 與三角形外接圓內切且與三角形的兩邊相切的圓稱為偽內切圓
2. Baca, Jafet. On Mixtilinear Incircles (PDF). Mathematical Reflections. 2020, (2) [2023-01-21]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-10-23）.
3. Yui, Paul. Mixtilinear Incircles. The American Mathematical Monthly. 2018-04-23, 106 (10): 952–955 [2021-10-27]. doi:10.1080/00029890.1999.12005146. （原始內容存檔於2022-10-23）.
4. Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 68–69. ISBN 978-1-61444-411-4.

參看

• 三角學
• 內切圓

外部鏈結

• 埃里克·韋斯坦因. Mixtilinear Incircles. MathWorld.