餘切叢

微分幾何中，流形的餘切叢是流形每點的餘切空間組成的向量叢。餘切空間有一個標準的辛形式，從中可以一個餘切叢的非退化的體積形式。因此，本身作為一個流形的餘切叢總是可定向的。可以在餘切叢上定義一組特殊的坐標系；這些被稱為正則坐標。因為餘切叢可以視為辛流形，任何餘切叢上的實函數總是可以解釋為一個哈密頓函數；這樣餘切叢可以理解為哈密頓力學討論的相空間。

1-形式

餘切叢的光滑截面是微分1-形式。

餘切叢的定義

設M×M是M與自己的笛卡爾積。對角映射Δ將M中的點p映到M×M中的點 (p,p)。像 Δ稱為對角線。設${\displaystyle {\mathcal {I}}}$是M上光滑函數芽的層。那麼商層${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$由高階項為0的等價類組成。餘切叢是這個層拉回到M：

${\displaystyle \Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}).}$

由泰勒定理，這是M一個上關於光滑函數芽層上的模的局部自由層。從而在M上定義了一個向量叢：餘切叢。

作為相空間的餘切叢

備註：本文需要澄清局部哈密頓系統和全局哈密頓系統的區別，特別是需要提供一些例子說明有時餘切叢不能作為一個動力系統的相空間(至少不能全局的)。

辛形式

餘切叢上有一個標準的辛形式，它是一個重言1-形式的外微分。該1-形式賦予餘切叢的切叢中的一個向量該餘切叢中的元素(一個線性泛函)到應用該向量在切叢上的投影(從餘切叢到原來的流形的投影的微分)上得到的值。要證明該形式確實是辛形式，可以利用辛形式是一種局部性質：因為餘切叢局部平凡，該定義只需在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$上驗證。而在這種情況下，該1-形式定義為${\displaystyle y_{i}dx_{i}}$之和，而其微分就是標準的辛形式，${\displaystyle dy_{i}{\land }dx_{i}}$之和。

相空間

若流形${\displaystyle M}$代表一個動力系統可能的位置的集合，則其餘切叢${\displaystyle \!\,T^{*}\!M}$可以視為所有可能的位置和動量的組合的結合。例如，這是表述單擺的相空間的一個方法。單擺的狀態由其位置(一個角度)及其動量(或者等效的有，其速度，因為其質量不變)來表示。這個狀態空間看起來象一個圓柱面。該圓柱面是該圓圈的餘切叢。上面構造的辛結構，和適當的能量函數一起就給出了一個確定的物理系統。更多細節參看哈密頓力學，參看測地流條目中的一個哈密頓運動方程的顯式構造。

參看

• 切叢

參考

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X.
• Stephanie Frank Singer, Symmetry in Mechanics: A Gentle Modern Introduction, (2001) Birkhauser, Boston.