1
=
∫
0
∞
x
α
−
1
λ
α
e
−
λ
x
Γ
(
α
)
d
x
{\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x}
⟹
Γ
(
α
)
λ
α
=
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
λ
x
d
x
{\displaystyle \implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x}
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
+
1
−
1
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x}
我們用分部積分法 來計算這個積分:
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
=
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
+
n
∫
0
∞
e
−
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x}
當
x
=
0
{\displaystyle x=0\,}
時,
−
0
n
e
0
=
0
1
=
0
{\displaystyle {\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0}
。當
x
{\displaystyle x\,}
趨於無窮大 時,根據洛必達法則 ,有:
lim
x
→
∞
−
x
n
e
x
=
lim
x
→
∞
−
n
!
⋅
0
e
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0}
.
因此第一項
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
{\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}
變成了零,所以:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
∫
0
∞
x
n
−
1
e
x
d
x
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x}
等式的右面正好是
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle n\Gamma (n)\,}
, 因此,遞迴公式 為:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle {\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,}
.
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)}
(藍色)、
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
(橘色),數字越大
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
會越趨近
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)}
。但
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
會在負值則會因為出現虛數而無法使用。
斯特靈公式 能用以估計
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
函數的增長速度。公式為:
Γ
(
z
+
1
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
其中e 約等於2.718281828459。
Γ
(
−
3
2
)
=
4
3
π
≈
2.363
271
801
207
Γ
(
−
1
2
)
=
−
2
π
≈
−
3.544
907
701
811
Γ
(
1
2
)
=
π
≈
1.772
453
850
906
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
3
2
)
=
1
2
π
≈
0.886
226
925
453
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
2
)
=
3
4
π
≈
1.329
340
388
179
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
2
)
=
15
8
π
≈
3.323
350
970
448
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}}
連分數表示
伽馬函數也可以在複數域表示為兩個連分數 之和[ 3] :
Γ
(
z
)
=
e
−
1
2
+
0
−
z
+
1
z
−
1
2
+
2
−
z
+
2
z
−
2
2
+
4
−
z
+
3
z
−
3
2
+
6
−
z
+
4
z
−
4
2
+
8
−
z
+
5
z
−
5
2
+
10
−
z
+
⋱
+
e
−
1
z
+
0
−
z
+
0
z
+
1
+
1
z
+
2
−
z
+
1
z
+
3
+
2
z
+
4
−
z
+
2
z
+
5
+
3
z
+
6
−
⋱
{\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
Γ函數的絕對值函數圖形
注意到在
Γ
{\displaystyle \Gamma }
函數的積分定義中若取
z
{\displaystyle z\,}
為實部大於零之複數 、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函數 。利用函數方程
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
(
0
<
R
e
(
z
)
<
1
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}
並注意到函數
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \sin(\pi z)\,}
在整個複平面上有解析延拓,我們可以在
R
e
(
z
)
<
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1}
時設
Γ
(
z
)
=
π
Γ
(
1
−
z
)
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}}
從而將
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
函數延拓為整個複平面上的亞純函數 ,它在
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
⋯
{\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots }
有單極點 ,留數為
R
e
s
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.}
許多程式語言或試算表軟件有提供Γ函數或對數的Γ函數,例如EXCEL。而對數的Γ函數還要再取一次自然指數才能獲得Γ函數值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函數,再用EXP[GAMMALN(X)]
,即可求得任意實數的伽瑪函數的值。
例如在EXCEL中:EXP[GAMMALN(4/3)]
=0.89297951156925
而在沒有提供Γ函數的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度[ 4] ,已足以填滿單精度浮點數 的二進制有效數字24位元:
Γ
(
z
)
≈
2
π
z
(
z
e
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
z
{\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}