幾何學中,二面體是指由2個面組成的多面體,但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面,因此少於四個面的多面體只能是退化的,換句話說,小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體,即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌:一角形二面體,它的對偶是一面形。另外二面體也可以以環形多面體英語Toroidal polyhedron正則地區圖的形式存在。

Quick Facts 部分的二面體 ...
二面體
部分的二面體
Thumb
一角形二面體
Thumb
環形二面體{4,4}1,1
Thumb
一角錐
Thumb
二面形
Close

二面體中不存在任何柱體,因為如果柱體要僅有兩個面,代表其不存在側面,而這樣的立體就不是柱體了。

常見的二面體

平面圖形

任何平面圖形都可以視為一個二面體,並且屬於二面體群

若將一封閉的平面圖形放置於三維空間也可以視為一個二面體,如多邊形二面體。他們皆屬於二面體群,是透鏡空間英語Lens_space的基本域[1]

球面鑲嵌

二面體可以以球面鑲嵌的方式存在,最簡單的例子是二面形

More information 名稱, 圖像 ...
名稱 二面形 一角形二面體 多邊形二面體
圖像 Thumb Thumb Thumb
施萊夫利符號 {2,2} {1,2}
h{2,2}
{n,2}
考克斯特記號 node_1 2 node 2 node  node_h 2x node 2x node  node_1 n node 2x node 
Close

二面形

一個二面形,是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形,施萊夫利符號中利用{2,2}來表示,該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。

一角形二面體

Thumb
球面上的一角形二面體

一角形二面體,又稱為雙一角形(dimonogon[2])是一種退化的多邊形二面體,由2個一角形組成,這個幾何結構只有1個頂點,該頂點為2個一角形的公共頂點,在施萊夫利符號中用{1,2}表示,其具有2個面、1條邊和1個頂點,對偶多面體是一個一面體:一面形。[2]

球面幾何學中,一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體,施萊夫利符號中利用{1,2}來表示,與的兩個半球形一角形面,共用一個360°的和一個頂點。它的對偶是一面形施萊夫利符號中利用{2,1}來表示,具有一個二角形面(一個完整的360°弓形),一個180°的邊緣,和兩個頂點,因此屬於一面體

一角形二面體可以截角三面形[2][3]

Thumb
作為正則地區圖的一角形二面體。兩個面分別以藍色和黃色表示
Thumb
截角的一角形二面體,紅色為截角的截面,所形成的立體為三面形

一角錐

Thumb
作為球面鑲嵌的一角錐

一角錐是指底面一角形的錐體,由於其底面為一角形,因此在歐幾里得空間中,其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中,其可以作為球面鑲嵌,此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐,因此是一種自身對偶的多面體。

雙一角錐

雙一角錐是以一角形的雙錐體,為一角柱的對偶多面體。由於其以一角形為底,因此在歐幾里得空間中,其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中,其可以作為球面鑲嵌,這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成,其兩個面都是三角形,但拓撲結構與三角形二面體不同,其中的兩個頂點為對蹠點,剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱

環形多面體

Thumb
{4,4}1,1是一種在環面由兩個兩兩共用頂點的四邊形組成

部分的環形多面體也是二面體,例如{4,4}1,1是一種環形二面體[5],為環面上的兩個四邊形面共用2個頂點和4條邊;以及{3,6}1,0也是一種環面二面體,為環面上兩個三角形共用一個頂點和三條邊。

正則地區圖

部分的正則地區圖由兩個面組成,可以視為二面體的一種,例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊[6],並且八邊形在頂點周圍自我重複相鄰兩次,也就是頂點周圍圍繞着4個八邊形,且對應的皮特里多邊形為八邊形,因此其在施萊夫利符號中可以用{8,4}8來表示[7];S2:{6,6}為由兩個六邊形共用兩個頂點和6條邊[8],並且六邊形在頂點周圍自我重複相鄰三次,也就是其頂點周圍圍繞着六個六邊形,且對應的皮特里多邊形為二角形,因此在施萊夫利符號中可以用{6,6}2來表示[7];S2:{5,10}為由兩個五邊形共用一個頂點和5條邊[9],並且五邊形在頂點周圍自我重複相鄰五次,也就是其頂點周圍圍繞着10個五邊形,且對應的皮特里多邊形為二角形,因此在施萊夫利符號中可以用{5,10}2來表示[7]

More information 虧格, 名稱 ...
虧格 名稱 施萊夫利符號 頂點 組成面 頂點圖 皮特里多邊形 對偶
2[7] S2:{8,4} {8,4}8 4 8 2 八邊形 四邊形(4個八邊形的公共頂點) 八邊形 S2:{4,8}(4個面)
S2:{6,6} {6,6}2 2 6 2 六邊形 六邊形(6個六邊形的公共頂點) 二角形 自身對偶
S2:{5,10} {5,10}2 1 5 2 五邊形 十邊形(10個五邊形的公共頂點) 二角形 S2:{10,5}(1個面)
3[10] S3:{12,4} {12,4}6 6 12 2 十二邊形 四邊形(4個十二邊形的公共頂點) 六邊形 S3:{4,12}(6個面)
S3:{8,8}4 {8,8}4 2 8 2 八邊形 八邊形(8個八邊形的公共頂點) 四邊形 自身對偶[11][12]
S3:{8,8}2 {8,8}2 二角形
S3:{7,14} {7,14}2 1 7 2 七邊形 十四邊形(14個七邊形的公共頂點) 二角形 S3:{14,7}(1個面)
4[13] S4:{16,4} {16,4}16 8 16 2 十六邊形 四邊形(4個十六邊形的公共頂點) 十六角形 S4:{4,16}(8個面)
S4:{12,6} {12,6}4 4 12 2 十二邊形 六邊形(6個十二邊形的公共頂點) 四邊形 S4:{6,12}(4個面)
S4:{10,10} {10,10}2 2 10 2 十邊形 十邊形(10個十邊形的公共頂點) 二角形 自身對偶
S4:{9,18} {9,18}2 1 9 2 九邊形 十八邊形(18個九邊形的公共頂點) 二角形 S4:{18,9}(1個面)
Close

圓錐

在不嚴謹的情況下,圓錐也能算是一種二面體,因為它可以看做是只有兩個面的幾何體,由一曲面(側面)和一圓形平面(底面)所組成。

二面體列表

More information 名稱, 種類 ...
名稱 種類 圖像 符號 頂點 χ 面的種類 對稱性
一角形二面體 多邊形二面體 Thumb {1,2}
node_1 2 node 
1 1 2 2 2個一角形 C1v
(*22)
二面形 多面形
多邊形二面體
Thumb {2,2}
node_1 2 node 2 node 
2 2 2 2 2個二角形 D2h
(*222)
一角錐 角錐
退化多面體
球面多面體
Thumb ( )∨{1} 2 2 2 2 1個一角形
1個三角形
C1v, [1]
雙一角錐 雙錐體
退化多面體
球面多面體
Thumb { }+{1} 3 3 2 2 2個三角形 D1h, [1,2], (*221) order 4
四面形半形
(hemi-4-hosohedron)[14]
多面形
多面體半形
{2,4}4/2 1 2 2 1 2個二角形
三維多邊形 多邊形二面體 {n,2}
node_1 n node 2 node 
n n 2 2 2個全等的多邊形 Dnh
(*n22)
二階無限邊形鑲嵌[16] 鑲嵌圖 Thumb {∞,2}
node_1 infin node 2 node 
node_1 infin node_1 2 node 
2 2 2個無限邊形 [∞,2], (*∞22)
{4,4}1,1 環形多面體 Thumb {4,4}1,1 2 4 2 0 2個正方形
{3,6}1,0 環形多面體 Thumb {3,6}1,0 1 3 2 0 2個正三角形
S2:{8,4}[6] 正則地區圖 {8,4}8[7] 4 8 2 -2 2個八邊形
S2:{6,6}[8] 正則地區圖 {6,6}2[7] 2 6 2 -2 2個六邊形
S2:{5,10}[9] 正則地區圖 {5,10}2[7] 1 5 2 -2 2個五邊形
圓錐體 非嚴格多面體
曲面
柱體
Thumb 1 1 2 2 1個曲面
1個圓形
Close

參見

參考文獻

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.