嚴謹 (數學)

數學上，嚴謹（rigor，mathematical rigor）不同於生活中的嚴謹，它指數學系統尤指公理系統的完備性和自洽性。

完備性指公理數量不多不少正好可以推理出這門學科的全部結論；自洽性指公理系統內不存在悖論（即既是真又是假的命題）。比如仿射幾何加上平行公設就成為歐幾里得幾何，或者加上第五公設的反命題就成為非歐幾何之一，但後兩者並不滿足完備性要求，只有仿射幾何學才是歐幾里得幾何類中的完備系統。一致性與哥德爾不完備定理並不矛盾，前者斷言不存在既真又假的命題，而後者斷言存在既不可證明又不可證偽的命題，就好比第五公設之於歐幾里得幾何，連續統假設之於公理化集合論，選擇公理之於策梅洛-弗蘭克爾集合論。

數學的嚴謹

數學的嚴謹可以應用於數學的證明方法和數學的實踐方法

數學證明

數學的嚴謹經常被認為是數學證明的標準。 其的歷史可追溯至希臘時期的數學，特別是歐幾裏得的《幾何原本》。

直到19 世紀，歐幾裏得的《幾何原本》都被視為極其嚴謹和深刻。然而，在19 世紀末，希爾伯特意識到該著作隱含了某些假設，而這些假設無法從歐幾裏得的公理中得到證明。

例如：兩個圓可以相交於一點，某個點在一個角度內，並且圖形可以相互疊加）。

這與數學中的嚴格證明的理念相反，在嚴格證明中，所有假設都需要陳述，並且不能隱含任何內容。因此，數學家用公理系統開發了新的基礎，以解決《幾何原本》中不嚴謹的地方。（例如希爾伯特公理、伯克霍夫公理、塔斯基公理）。

物理證明

數學嚴謹對物理學有兩個問題：

1. 有一個普遍的問題，有時被稱為維格納之謎(《The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences》)：「數學如何普遍適用於自然？」，而一些科學家認為，對於自然的紀錄證明了數學適用於物理研究
2. 有一個關於數學結果與關係是否嚴謹的問題。該問題對量子場論甚為煩人，因為在量子場論中，計算通常會產生無限值，而為解決這些問題，科學家設計了各種不嚴格的解決方法。

物理學中數學嚴謹的兩個問題都引起了科學哲學的廣泛關注。

參考文獻

• 參見徐利治的《微積分大意》