不可約元素

不可約元素是抽象代數中的名詞，是指在整環中一個非零、非單位的元素，而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。

不可約元素和質元素的關係

不可約元素和質元素不同，交換環${\displaystyle R}$內的非零、非單位元素${\displaystyle a}$為質元素，表示若在交換環${\displaystyle R}$內存在${\displaystyle b}$及${\displaystyle c}$，使得${\displaystyle a|bc}$，則${\displaystyle a|b}$或${\displaystyle a|c}$必定有一個成立。

在整環中，每一個質元素都是不可約元素^[1][2]，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環（或範圍更廣的GCD環）中的不可約元素才一定是質元素。

再者，一個用質元素產生的理想為素理想，但由不可約元素產生的理想一般不會是不可約理想（英語：irreducible ideal）。不過，若${\displaystyle D}$為GCD環，且${\displaystyle x}$為${\displaystyle D}$環中的不可約元素，則產生的理想會是素理想^[3]。

舉例

在二次整數環（英語：quadratic integer ring）${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$中，可以用範數證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

但 ${\displaystyle 3}$ 無法整除 ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$，也無法整除 ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$。^[4]

相關條目

• 不可約多項式

參考資料

1. 考慮${\displaystyle p}$為一個可約的質元素：${\displaystyle p=ab.}$，則${\displaystyle p|ab\Rightarrow p|a}$或${\displaystyle p|b}$。假如${\displaystyle p|a\Rightarrow a=pc,}$則可得${\displaystyle p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.}$。因為${\displaystyle R}$為整環，因此可得${\displaystyle cb=1.}$。因此${\displaystyle b}$為單位元素，而${\displaystyle p}$是不可約元素。
2. Sharpe (1987) p.54
3. planetmath Irreducible Ideal. [2015-08-25]. （原始內容存檔於2010-06-20）.
4. William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.

• Sharpe, David. Rings and factorization. Cambridge University Press. 1987. ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008.