Youla-Kucera參數化

Youla-Kucera參數化（Youla–Kučera parametrization）也稱為Youla參數化（Youla parametrization）或是YK參數化，是控制理論中一個參數化（英語：parametrization）的公式，描述所有針對一受控體P的所有可能穩定回授控制器，表示為單一參數Q的函數。

細節

YK參數化是通用的結果，是控制理論的基礎結果，不過在新的研究領域（如最佳控制及強健控制中）也有其應用^[1]。

為了方便瞭解其概念，先用簡單的例子舉例，再慢慢擴展，這也是Kučera的作法。

穩定的SISO系統

令${\displaystyle P(s)}$為穩定單一輸入單一輸出（SISO）系統的傳遞函數。再令Ω是s的穩定proper函數的集合。則所有可以讓系統${\displaystyle P(s)}$穩定的proper控制器可以定義如下：

${\displaystyle \left\{{\frac {Q(s)}{1-P(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}}$,

其中${\displaystyle Q(s)}$是任意s的穩定proper函數。也可以說${\displaystyle Q(s)}$參數化了所有可以讓系統${\displaystyle P(s)}$穩定的控制器。

一般SISO系統

考慮一系統其傳遞函數為${\displaystyle P(s)}$，且此傳遞函數可以分解為

${\displaystyle P(s)={\frac {N(s)}{M(s)}}}$，其中M(s)和N(s)是s的穩定proper函數。

求解下式的貝祖等式

${\displaystyle \mathbf {N(s)X(s)} +\mathbf {M(s)Y(s)} =\mathbf {1} }$,

其中待解的變數（X(s), Y(s)）也要是穩定proper函數。

在找到穩定proper的X和Y後，可以定義穩定化控制器為${\displaystyle C(s)={\frac {X(s)}{Y(s)}}}$。在找到一個穩定化控制器後，可以用一個穩定proper的參數Q(s)來定義所有穩定化控制器，其集合為 ${\displaystyle \left\{{\frac {X(s)+M(s)Q(s)}{Y(s)-N(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}}$,

一般MIMO系統

在多重輸入多重輸出（MIMO）系統中，考慮傳遞矩陣${\displaystyle \mathbf {P(s)} }$。可以用右互質因式${\displaystyle \mathbf {P(s)=N(s)D^{-1}(s)} }$或左因式${\displaystyle \mathbf {P(s)={\tilde {D}}^{-1}(s){\tilde {N}}(s)} }$來分解。因式需要是穩定、proper及雙重互質，因此確保系統P(s)是可控制且可觀察的。可以用貝祖等式寫成下式

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\mathbf {X} &\mathbf {Y} \\-\mathbf {\tilde {N}} &{\mathbf {\tilde {D}} }\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {D} &-\mathbf {\tilde {Y}} \\\mathbf {N} &{\mathbf {\tilde {X}} }\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\mathbf {I} &0\\0&\mathbf {I} \\\end{matrix}}\right]}$.

在找到穩定proper的${\displaystyle \mathbf {X,Y,{\tilde {X}},{\tilde {Y}}} }$後，可以用左因式或是右因式定義所有可穩定的控制器K(s)（假設存在負回授）：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {K(s)} ={{\left(\mathbf {X} -\mathbf {\Delta {\tilde {N}}} \right)}^{-1}}\left(\mathbf {Y} +\mathbf {\Delta {\tilde {D}}} \right)\\&=\left(\mathbf {\tilde {Y}} +\mathbf {D\Delta } \right){{\left(\mathbf {\tilde {X}} -\mathbf {N\Delta } \right)}^{-1}}\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle \Delta }$是任意的穩定proper參數。

令${\displaystyle P(s)}$是系統的傳遞函數，且${\displaystyle K_{0}(s)}$是一個穩定化的控制器，其右互質分解為：

${\displaystyle \mathbf {P(s)} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {K_{0}(s)} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{-1}}$

則所有的穩定控制器可以寫成

${\displaystyle \mathbf {K(s)} =(\mathbf {U} +\mathbf {M} \mathbf {Q} )(\mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q} )^{-1}}$

其中Q是穩定且proper的函數^[2]

YK公式在工程上的重要性是若要找到符合特定準則的可穩定控制器，可以調整Q來符合想要的準則。

參考資料

1. V. Kučera. A Method to Teach the Parameterization of All Stabilizing Controllers. 18th IFAC World Congress. Italy, Milan, 2011.[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
2. Cellier: Lecture Notes on Numerical Methods for control, Ch. 24. [2018-07-26]. （原始內容存檔於2015-05-17）.

• D. C. Youla, H. A. Jabri, J. J. Bongiorno: Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers: part II, IEEE Trans. Automat. Contr., AC-21 (1976) pp319–338
• V. Kučera: Stability of discrete linear feedback systems. In: Proceedings of the 6th IFAC. World Congress, Boston, MA, USA, (1975).
• C. A. Desoer, R.-W. Liu, J. Murray, R. Saeks. Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis. IEEE Trans. Automat. Contr., AC-25 (3), (1980) pp399–412
• John Doyle, Bruce Francis, Allen Tannenbaum. Feedback control theory. (1990). [2] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）