S波(S-wave,secondary wave)是二種體波(體波的命名是因為此波穿越地球內部,相對於體波的是面波)中之一。它是因地震而產生的,被地震儀記錄下來。命名為S波(二次波,secondary wave)是因為它的速度僅次於P波(最快的地震波)。S波也可以代表剪切波(shear wave),因為S波是一種橫波,地球內部粒子的震動方向與震波能量傳遞方向是垂直的。S波與P波不同的是,S波無法穿越外地核。所以S波的陰影區正對着地震的震源。
平面剪切波
二維網格中球面S波的傳播(經驗模型)
S波移動時是剪切波或橫波,因此其運動方向與波的傳播方向是垂直的,若要形象地描述S波,可以認為S波是揮動繩子時,繩子上傳播的波,這與P波是不同的。P波是一種縱波,縱波就如振動的彈簧上傳播的波,其形態就像蠕蟲一樣。S波通過彈性介質移動,而主要的恢復力來自於剪切效應。這些波是不發散的,遵守不可壓縮介質的連續性方程:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f70c85ec868f8dd21cf2662ebfa2ec2552df8be)
原理
P波陰影區。S波不會穿過外核,因此在遠離震央超過104°的全部區域S波都處在陰影區中(來源:USGS)
S波預測來自於1800年代的理論,最初來自於各向同性固體的應力-應變關係:
![{\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}e_{kk}+2\mu e_{ij}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018037e948ac9838f913cb33785c18ec874ffed7)
其中
是應力,
和
是拉梅參數(
是剪切模量),
是克羅內克函數,而應變張量定義為
![{\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbc037fbd029997db83275f59fa6b1a0060d80a)
其中u是應變位移。將後式代入前式得到
![{\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99e31f9c2471d658a0cf9af055a13873f32674b)
這種情況下的牛頓第二定律給出了地震波傳播的運動齊次方程:
![{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{j}\tau _{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3049929f515027434c584dc99b7cb7fa321e5b8)
其中
是質量密度。代入上面的應力張量得到:
![{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{i}\lambda \partial _{k}u_{k}+\partial _{j}\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)=\lambda \partial _{i}\partial _{k}u_{k}+\mu \partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68264fbd301ccf295cb25f49c1623049dbcdc6aa)
利用向量恆等式並取一定的近似可得到均勻介質中的地震波方程:
![{\displaystyle \rho {\ddot {\boldsymbol {u}}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})-\mu \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {u}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bbd53db26c6ee352feddc8224b44abf88573d8)
其中牛頓標記用於表示時間導數。取方程的旋度並利用向量恆等式最終得到:
![{\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})}{\partial t^{2}}}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f77c92a0f5417982314b6f206e72fbd898196a)
這一方程是一個只包含了u的旋度和速度
的波動方程,其中
滿足
![{\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\mu }{\rho }}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2693c8b3435ff7459b2cb0f49e4cb3cc77c90b47)
這一公式描述了S波的傳播。若用均勻介質中的地震波方程的散度代替旋度,則會得到描述P波傳播的方程。
參見
參考文獻