Pin群

數學中，Pin 群是一個二次型空間相伴的克利福德代數的一個子群。它有一個到正交群的 2 對 1 映射，就像 Spin 群映到特殊正交群一樣。

從 Pin 群到正交群的映射不是滿的也不是萬有覆疊空間，但對定二次型，兩者都正確。

一般定義

參見：克利福德代數 § 旋量群與Pin群

確定形式

確定形式的 Pin 群是到正交群的滿射，每個分支都是單連通的：它是正交群的二重覆疊。正定二次型 ${\displaystyle Q}$ 和它的負形式 ${\displaystyle -Q}$ 不是同構的，但是正交群是同構的 ^{[註 1]}。

就標準形式而言，${\displaystyle O(n,0)=O(0,n)}$，但是 ${\displaystyle {\mbox{Pin}}(n,0)\not \cong {\mbox{Pin}}(0,n)}$。使用 Clifford 代數（這裏 ${\displaystyle v^{2}=Q(v)\in C\ell (V,Q)}$）中通用的「±」號記法，我們可以寫成

${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}(n):={\mbox{Pin}}(n,0)\qquad {\mbox{Pin}}_{-}(n):={\mbox{Pin}}(0,n)}$

它們都是到 ${\displaystyle O(n)=O(n,0)=O(0,n)}$ 的滿射。

與之對比，我們有同構^{[註 2]} ${\displaystyle {\mbox{Spin}}(n,0)\cong {\mbox{Spin}}(0,n)}$ 且他們都是特殊正交群 SO(n) 惟一的萬有覆疊。

不定形式

作為拓撲空間

任何連通拓撲群在拓撲意義上有惟一的萬有覆疊空間，這個空間有惟一的群結構作為基本群的中心擴張。對一個不連通拓撲空間，含單位元的分支有一個惟一的萬有覆疊，然後在其他分支作為拓撲空間可取同一個覆疊（這是單位分支的主齊性空間），但是其它分支的群結構一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群關聯的獨特的拓撲空間，由 Clifford 代數中得出：存在其他類似的群，對于于其他分支的其他二重覆疊或者其他群結構，但是他們不叫做 Pin 或 Spin 群，研究得也少。

結構

兩個 Pin 群對應於中心擴張

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{\pm }(V)\to O(V)\to 1}$

${\displaystyle {\mbox{Spin}}(V)}$（行列式為 1 的分支）上的群結構已經定義好了；其餘分支的群結構由中心確定，從而有一個 ${\displaystyle \pm 1}$ 分歧。

兩個擴張由一個反射的原像的平方是 ${\displaystyle \pm 1\in \ker \left({\mbox{Spin}}(V)\to SO(V)\right)}$ 區分，這兩個 Pin 群即是這樣命名的。明確地說，一個反射在 ${\displaystyle O(V)}$ 中的指數為 2，${\displaystyle r^{2}=1}$，所以反射的原像的平方（具有行列式 1）一定在 ${\displaystyle {\mbox{Spin}}_{\pm }(V)\to SO(V)}$ 的核中，所以 ${\displaystyle {\tilde {r}}^{2}=\pm 1}$，兩種選擇都確定了一個 Pin 群（因為所有反射共軛於聯通群 ${\displaystyle SO(V)}$ 的中一個元素，所有反射的平方一定具有相同值）。

具體地，在 ${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}}$ 中，${\displaystyle {\tilde {r}}}$ 的指數為 2，子群 ${\displaystyle \{1,r\}}$ 的原像是 ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$：如果我們重複同一個反射，得到恆同。

在 ${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{-}}$ 中，${\displaystyle {\tilde {r}}}$ 的指數為 4： 如果重複同一個反射兩次，我們得到了一個「旋轉 2π」——${\displaystyle {\mbox{Spin}}(V)\to SO(V)}$ 中的非平凡元可以理解為「旋轉 2π」（每一個軸得出相同的元素）。

低維數

在 2 維，${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}}$ 與 ${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{-}}$ 的區別反映了一個正 2n 邊形的二面體群和循環群 ${\displaystyle C_{2n}}$ 的區別。

在 ${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}}$ 中，一個正 2n 邊形的二面體群的原像，視為子群 ${\displaystyle {\mbox{Dih}}_{n}<O(2)}$，是 2n 邊形的二面體群 ${\displaystyle {\mbox{Dih}}_{2n}<{\mbox{Pin}}_{+}(2)}$；然而在 ${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{-}}$ 中二面體群的原像是循環群 ${\displaystyle {\mbox{Dic}}_{n}<{\mbox{Pin}}_{-}(2)}$

在 1維，Pin 群共軛於第一個二面體群和循環群：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Pin}}_{+}(1)&\cong C_{2}\times C_{2}={\mbox{Dih}}_{1}\\{\mbox{Pin}}_{-}(1)&\cong C_{4}={\mbox{Dic}}_{1}\end{aligned}}}$

中心

不定 Pin 群

Spin(p,q) 有八種不同的二重覆疊，對 ${\displaystyle p,q\neq 0}$，這對應於用 ${\displaystyle C_{2}}$ 中心擴張（中心不是 ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$ 就是 ${\displaystyle C_{4}}$）。只有其中兩個稱為 Pin 群，他們可以將 Clifford 代數作為一個表示。他們分別稱為 Pin(p,q) 和 Pin(q,p)。

命名

這個群的名稱在 米高·阿蒂亞、拉烏爾·博特、A. Shapiro： Clifford modules（Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17）一文中引入，他們說「這個笑話歸於 J-P. Serre」。這是「Spin」的逆構詞法：Pin 之於 Spin 就像 O(n) 之於 SO(n)，從而從「Spin」中去掉「S」得到「Pin」。進一步，詞「Pin」的法語發音和一個粗痞話相同，這暗示了這個名稱的起源於（或被歸於）塞爾。^{[註 3]}

註釋

1. 事實上，他們可以作為 GL(V) 的子集相等而不僅僅是抽象的同構：保持一個形式的算子等且僅當保持其負形式。
2. 他們是不通代數的子代數 ${\displaystyle C\ell (n,0)\not \cong C\ell (0,n)}$，但是他們作為向量空間 ${\displaystyle C\ell (n,0)=C\ell (0,n)=\Lambda ^{*}\mathbf {R} ^{n}}$ 的子集相等，而且帶有相同的代數結構，從而他們自然同構。
3. 法語俚語「pine」意為「penis」，進一步，當說「Pin 群有 2 部分」（偶部分 Spin 和奇部分）暗示了兩者近似的結構比較。^[1]

參考文獻

1. Pertti Lounesto. Re: Math jokes (dirty): Explanation. Newsgroup: sci.math. 04 Dec 1993 09:36:24 GMT [2007-11-27]. [e-mail]. 請檢查|date=中的日期值 (幫助)