在數學中,齊次函數(英語:Homogenous)是一個有倍數性質的函數:如果變數乘以一個系數,則新函數會是原函數再乘上系數的某次方倍。
- 線性函數
是一次齊次函數,因為根據線性的定義,對於所有的
和
,都有:![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6016686092a9e78baecb0c45010bc8319d3981)
- 多線性函數
是n次齊次函數,因為根據多線性的定義,對於所有的
和
都有:![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283a9ebe6e8be28f3186563249e32ca59fc67554)
- 從上一個例子中可以看出,兩個巴拿赫空間
和
之間的函數
的
階弗雷歇導數是
次齊次函數。
元單項式定義了齊次函數
。
例如:
![{\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd99ece770845762a699d2bd46532096b091bc8b)
是10次齊次函數,因為:
。
- 齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如:
![{\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51db9a7b25751430fe980a07982859492343788a)
是5次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函數。
- 歐拉定理:假設函數
是可導的,且是
次齊次函數。那麼:
。
這個結果證明如下。記
,並把以下等式兩端對
求導:
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e8c036d477cdba024d647203c8e05877d31de3)
利用複合函數求導法則,可得:
,
因此:
。
以上的方程可以用劈形算符寫為:
,
當
,定理即得證。
- 假設
是可導的,且是
階齊次函數。則它的一階偏導數
是
階齊次函數。
這個結果可以用類似歐拉定理的方法來證明。記
,並把以下等式兩端對
求導:
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e8c036d477cdba024d647203c8e05877d31de3)
利用複合函數求導法則,可得:
,
因此:
![{\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fb61bd191706fcafaeb59c8656294bdd6d6e1e)
所以
.
對於以下的微分方程
![{\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1d7d7851c256d1c06d92934badc1f8dd96924e)
其中
和
是同次數的齊次函數,利用變量代換
,可以把它化為可分離變量的微分方程:
。
- Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德語).