馬可夫性質(英語:Markov property)是概率論中的一個概念,因為俄國數學家安德雷·馬可夫得名[1]。當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下,其未來狀態的條件概率分佈僅依賴於當前狀態;換句話說,在給定現在狀態時,它與過去狀態(即該過程的歷史路徑)是條件獨立的,那麼此隨機過程即具有馬可夫性質。具有馬可夫性質的過程通常稱之為馬可夫過程。
數學上,如果
為一個隨機過程,則馬可夫性質就是指
![{\displaystyle \mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(s)=x(s),s\leq t{\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x(t){\big ]},\quad \forall h>0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a6129f9ba1a9ed334f56c45590db0743eabe58)
馬可夫過程通常稱其為(時間)齊次,如果滿足
![{\displaystyle \mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x(t){\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(h)=y\,|\,X(0)=x(0){\big ]},\quad \forall t,h>0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b635c7476d943f655adcba42f3e7a55ab8f5c079)
除此之外則被稱為是(時間)非齊次的。齊次馬可夫過程通常比非齊次的簡單,構成了最重要的一類馬可夫過程。
某些情況下,明顯的非馬可夫過程也可以通過擴展「現在」和「未來」狀態的概念來構造一個馬可夫表示。設
為一個非馬可夫過程。我們就可以定義一個新的過程
,使得每一個
的狀態表示
的一個時間區間上的狀態,用數學方法來表示,即,
![{\displaystyle Y(t)={\big \{}X(s):s\in [a(t),b(t)]\,{\big \}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d6e381d59b76a48ff453d6a16129ba7f2fd239)
如果
具有馬可夫性質,則它就是
的一個馬可夫表示。
在這個情況下,
也可以被稱為是二階馬可夫過程。更高階馬可夫過程也可類似地來定義。
具有馬可夫表示的非馬可夫過程的例子,例如有移動平均時間序列。
最有名的馬可夫過程為馬可夫鏈,但不少其他的過程,包括布朗運動也是馬可夫過程。
Markov, A. A. (1954). Theory of Algorithms. [Translated by Jacques J. Schorr-Kon and PST staff] Imprint Moscow, Academy of Sciences of the USSR, 1954 [Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; available from Office of Technical Services, United States Department of Commerce] Added t.p. in Russian Translation of Works of the Mathematical Institute, Academy of Sciences of the USSR, v. 42. Original title: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Dartmouth College library. U.S. Dept. of Commerce, Office of Technical Services, number OTS 60-51085.]