霍普夫代數

在數學中，霍普夫代數（英文: Hopf algebra）是一類雙代數，亦即具有相容的結合代數與餘代數結構的向量空間，配上一個對極映射，後者推廣了群上的逆元運算 ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名，此類結構廣見於代數拓撲、群概形、群論、量子群等數學領域。

定義

所謂霍普夫代數，是指一個域 ${\displaystyle K}$ 上的雙代數 ${\displaystyle (H,\nabla ,\Delta ,\eta ,\epsilon )}$，配上一個線性映射 ${\displaystyle S:H\to H}$（稱為對極映射），使得下述圖表交換：

利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為

${\displaystyle \forall c\in C,\quad S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1}$

對極映射可理解為 ${\displaystyle \mathrm {id} :H\to H}$ 對卷積之逆，故其若存在必唯一。當 ${\displaystyle S^{2}=\mathrm {id} }$，則稱 ${\displaystyle H}$ 為對合的；交換或餘交換霍普夫代數必對合。

根據定義，有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。

例子

群代數. 設 ${\displaystyle G}$ 為群，可賦予群代數 ${\displaystyle K[G]}$ 下述霍普夫代數結構：

• ${\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G],\quad \forall g\in G,\Delta (g)=g\otimes g}$
• ${\displaystyle \epsilon :K[G]\to K,\quad \forall g\in G,\epsilon (g)=1}$
• ${\displaystyle S:K[G]\to K[G],\quad \forall g\in G,S(g)=g^{-1}}$

有限群上的函數. 設 ${\displaystyle G}$ 為有限群，置 ${\displaystyle K^{G}}$ 為所有 ${\displaystyle G\to K}$ 的函數，並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構 ${\displaystyle K^{G}\otimes K^{G}=K^{G\times G}}$。定義：

• ${\displaystyle \Delta :K^{G}\to K^{G\times G},\quad \Delta (f)(x,y)=f(xy)}$
• ${\displaystyle \epsilon :K^{G}\to G,\quad \epsilon (f)=f(e)}$
• ${\displaystyle S:K^{G}\to K^{G},\quad S(f)(x)=f(x^{-1})}$

仿射代數概形的座標環：處理方式同上。

泛包絡代數. 假設 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 是域 ${\displaystyle K}$ 上的李代數，置 ${\displaystyle U:=U({\mathfrak {g}})}$ 為其泛包絡代數，定義：

• ${\displaystyle \Delta :U\to U\otimes U,\quad \forall g\in {\mathfrak {g}},\Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x}$
• ${\displaystyle S:U\to U,\quad \forall x\in {\mathfrak {g}},S(x)=-x}$

後兩條規則與交換子相容，因此可唯一地延拓至整個 ${\displaystyle U}$ 上。

李群的上同調

李群的上同調代數構成一個霍普夫代數，其代數結構由上同調的上積給出，餘代數結構則來自群乘法 ${\displaystyle G\times G\to G}$，由此導出

${\displaystyle H^{\bullet }(G)\to H^{\bullet }(G\times G)=H^{\bullet }(G)\otimes H^{\bullet }(G)}$

對極映射來自 ${\displaystyle G\to G:g\mapsto g^{-1}}$。這是霍普夫代數的歷史起源，事實上，霍普夫藉着研究這種結構，得以證明李群上同調的結構定理：

定理（霍普夫，1941年）^[1].

設 ${\displaystyle A}$ 為 ${\displaystyle K}$ 上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數，則 ${\displaystyle A}$（視為 ${\displaystyle K}$-代數）同構於由奇數次元素生成的自由外代數。

量子群與非交換幾何

主條目：量子群

上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面，泛包絡代數的某些「變形」或「量子化」可給出非交換亦非餘交換的例子；這類霍普夫代數常被稱為量子群，儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在非交換幾何中相當重要：一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃，而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類「量子化」了的代數群（實則非群）。

文獻

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• Ross Moore, Sam Williams and Ross Talent: Quantum Groups: an entrée to modern algebra
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages

註記

1. H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). MR4784