在數學中,域 上的雙代數是兼具 上之結合代數(具單位元)與餘代數的結構,而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。
定義
相容性意味着餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態,這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態,因為兩者由相同的交換圖刻畫。
由單位圖表的對稱性,也可導出下述事實:如果 是雙代數,而且 具有良好的對偶空間 (例如當 維度有限時),則 也帶有自然的雙代數結構。
定義中的相容性由以下交換圖給出:
乘法與餘乘法相容:
乘法與餘單位元相容:
餘乘法與單位元相容:
單位元與餘單位元相容:
在此 是代數乘法,而 是代數之單位元。 是餘代數乘法,而 是餘代數單位元。 定義為 。
若以算式具體描述,則相容關係有如下之表示(在此採用省略 之 Sweedler 記法):
乘法與餘乘法相容:
乘法與餘單位元相容:
餘乘法與單位元相容:
單位元與餘單位元相容:
在此我們省略代數乘法之映射 ,而直接以兩項並置表之。同理,單位元 直接以單位元素 表示(對應到 )。
相關文獻
- Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
參見
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